集合论/导论
许多数学专业的学生很难理解集合论为什么很重要，因为他们最初接触的数学通常是基于算术和代数，而不是微积分。为了理解集合论的重要性，我们应该看一下关于数学是什么的根本问题。工程师对数学的看法是，它是一种解决问题的工具，科学家用它来描述现实，统计学家用它来构建模型，但对数学家来说，数学是什么呢？
笛卡尔说得好，他说“数学是一种比任何其他由人类机构传给我们的知识工具都更强大的工具”。在数学中，我们有一个完全形式化的学科——没有主观性，因为一切都是基于规则和定义的。虽然这些规则被教给孩子们作为不可改变的“数学运作方式”，但实际上它们只是便利。任何定义的规则集在数学中都是有效的结构，但有些（被研究的那些）比其他的更有趣。例如，如果我们将数字的相等性重新定义为任何两个数字都相等，我们将有一个定义良好的系统，但是关于这个系统几乎没有有趣的事情可说，因为在这个系统中每一个命题都是真的。
那么，为了回答我们的第二个问题，数学是建立有趣的系统。我们仍然对为什么我们在集合论的背景下讨论这个问题感到困惑，这让我们了解到这个概念的一些历史。在 19 世纪中期，数学是无形和空洞的——希腊人关于严格证明的概念已经被模糊性取代，而一个连贯的集合论的严格性还在未来。正是在这个时期，德摩根和布尔开始将逻辑作为数学的一个分支来进行写作。这对数学很重要，因为在此之前，数学证明是令人信服的论证，但没有被形式化。
格奥尔格·康托尔问了一些关于无穷大的非常令人费解的问题，这些问题破坏了一些非常明显的观念。例如，他开始声称存在不止一个无穷大，而且它们的大小不同。这场部分由牛顿关于无穷大和无穷小的作品中存在歧义而引发的争论和争议，导致了对数字是什么的正式定义。因此，所有现代数学都是使用集合论重建的，因此所有现代数学在某种程度上都只是集合概念的应用。
在我们开始学习集合之前，我们将评论一下什么是集合，以及它们为什么在数学中被使用。在许多方面，集合是最简单的概念对象，从中可以严格地发展出其他数学概念。从集合论开始是最容易理解的。集合论中的所有东西都是基于空集形成的，空集用 或 表示。其他集合可以包含空集，因此集合 是一个只包含空集的简单集合。我们可以基于这个想法构建复杂程度不同的集合； 将是一个包含两项的集合：空集和包含空集的集合。
