集合论/集合论语言

回顾一下，一种语言由一个字母表（即符号集合）、一个语法（即形成公式的规则）和语义（即对公式的解释）组成。

集合论语言，记为${\mathcal {L}}$，是一阶逻辑的语言，带有符号$\in$。

我们的字母表包括变量符号$v,w,\ldots$，以及符号$\vee \;\wedge \;\Rightarrow \;\Leftrightarrow \;\neg \;\forall \;\exists \;\bot \;=\;\in$。

我们不会在这本书中过多地关注形式语义；然而，我们对符号$\in$的预期解释是作为集合成员关系，即$x\in y$表示集合$x$是集合$y$的成员。

我们的语法（非正式地）由以下内容描述

• 如果$x$和$y$是变量符号，那么$(x=y)$和$(x\in y)$是公式
• 如果$\varphi$是公式，那么$(\neg \varphi )$也是公式
• 如果$\varphi$和$\psi$是公式，那么$(\varphi \Leftrightarrow \psi )$、$(\varphi \Rightarrow \psi )$、$(\varphi \wedge \psi )$和$(\varphi \vee \psi )$也是公式
• 如果 $\varphi$ 是一个公式，并且 $x$ 是一个变量符号，那么 $\forall x:\varphi$ 和 $\exists x:\varphi$ 都是公式
• 最后，我们有 $\bot$ 也是一个公式

注意，为了正式定义语法，我们需要使用“递归”的概念。但是，递归将在理论（ZF 理论）中很快被定义，因此我们将避免使用 ZF 中的定理作为 ZF 的元定理。

还要注意，我们对“全集”进行量化，即所有集合的集合。（有趣的事实：全集不是集合，这是因为我们很快就会看到的两个公理。）