集合论/策梅洛-弗兰克尔 (ZF) 公理

正式地，集合除了公理所说的之外没有定义。我们可以将任何对象的集合定义为一个类，这样任何集合都是一个类，但并非所有类都是集合（不是集合的类有时被称为真类）。

策梅洛-弗兰克尔 (ZF) 集合论公理

为了证明集合论的一些基本结果，并开始基于它定义数学的其他分支，我们需要从一些我们虔诚地认为是真实的公理开始。公理的选择有很多可能性，但最流行的一组公理是策梅洛-弗兰克尔系统，或者更一般地说，策梅洛-弗兰克尔与选择公理。

我们将从说宇宙是非空的开始。

ZF1（空集公理） $\exists y:\forall x:(x\notin y)$ “存在一个没有元素的集合。”

我们称一个不包含任何元素的集合为空集。一个自然的问题是，这样的集合是否唯一。

我们需要一个集合之间的等价概念。

ZF2（外延公理） $\forall x:\forall y:((x=y)\Leftrightarrow (\forall z:(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)))$ “如果两个集合具有相同的元素，那么它们被称为相等。”

现在我们可以证明空集的唯一性。我们非正式地证明这一点，并使用以下论点：归谬法。英文意思是反证法。

证明

• 假设空集不是唯一的。
• 这意味着存在空集 $x$ 和 $y$ 使得 $x\neq y$.
• 所以根据ZF1，我们有 $z\notin y$ 和 $z\notin x$ 对于任何集合 $z$。
• 因此根据ZF2，我们有 $x=y$ 因为 $(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)$ 对于任何集合 $z$ 是空真，或者用拉丁语说是ex falso sequitur quodlibet。
• 因此我们得到了矛盾。所以空集是唯一的。 $\Box$

我们将空集定义为 $\emptyset$.

到目前为止，我们只证明了空集的存在。因此促使了我们的下一个公理。

ZF3（对公理） $\forall x:\forall y:\exists m:\forall u:(u\in m)\Leftrightarrow ((u=x)\vee (u=y))$ “如果我们有两个集合 $x$ 和 $y$，那么我们可以形成一个无序对集合 $m$，它恰好包含 $x$ 和 $y$。我们将它写成 $\{x,y\}$。”

直接从ZF2可知，无序对集合是事实上的唯一的（所以我们关于无序对集合中顺序无关紧要的直觉是正确的，$\{x,y\}=\{y,x\}$）。同样直接从ZF2可知，如果$x$ 是一个集合，那么根据ZF3，我们有一个包含$x$ 的集合，即$\{x\}$。

到目前为止，我们的理论表明了无限多个集合的存在。我们通过ZF1得到$\emptyset$，并通过ZF3得到$\{\emptyset \}$，再次通过ZF3得到$\{\{\emptyset \}\}$，等等…

这里的无限概念是非正式使用的，因为我们还没有定义它。

我们目前在理论中遇到的唯一缺点是我们只能形成空集、单元素集和对集合。更准确地说，我们可以说：

• 空集$(x):\Leftrightarrow (\forall y:y\notin x)$
• 单元素集$(x):\Leftrightarrow (\forall y:(x=\{y\}))$
• 对集$(x):\Leftrightarrow (\forall y:\forall z:(x=\{y,z\})\wedge (y\neq z))$

我们现在可以将有序对集合定义为$(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$。很容易看出，如果$x\neq y$，那么$(x,y)\neq (y,x)$。这是由库拉托夫斯基 在 1921 年 定义的。

为了定义更大的集合，我们需要以下公理。

ZF4（并集公理） $\forall x:\exists u:\forall y:(y\in u)\Leftrightarrow (\exists z:(y\in z)\wedge (z\in x))$ “对于任何集合$x$，存在另一个集合，它的元素恰好是$x$ 的元素的元素。我们将该集合$u$ 写作$\bigcup u$。”

因此，集合 $\{x,y\}$ 和 $\{z\}$ 的并集仅仅是 $\{x,y,z\}$。因此我们得到了一个三元集。我们可以继续对集合进行并集运算，形成更大的集合。

我们也有对两个集合进行并集运算的通常概念，即集合 $x$ 和集合 $y$ 的并集，我们记为 $x\cup y$，定义为 $\bigcup \{x,y\}$。

ZF5（替换公理模式） 给定一个集合 $z$ 和集合论语言中的一个公式 $\phi (x,y)$，使得对于所有 $x$ 都存在唯一的 $y$ 使得 $\phi (x,y)$ 为真。那么存在一个集合 $a$，其元素是所有满足条件的 $y$。我们将其记为集合 $\{y\,|\,\exists x\in z:\phi (x,y)\}$。

直观上，我们可以将其看作是映射的存在。

以下公理来自ZF5，但我们会将其写下来，因为它很有用。我们将将其命名为ZF 5.1，以突出其可以从ZF5证明的事实。

ZF 5.1（分离公理模式/受限外延公理） 给定一个集合 $y$ 和一个集合论语言中的公式 $\phi (x)$。那么我们有一个包含所有 $z\in y$ 的集合，使得 $\phi (z)$ 为真。我们将此写为集合 $\{z\in y\,|\,\phi (z)\}$。

这种集合的唯一性（既来自ZF5 又来自ZF 5.1）源于ZF2。

ZF5 和 ZF 5.1 都是公理模式，因为它们包含无限多个公理——每个公式 $\phi$ 都有一个公理。请注意，此公理中的限制 $x\in A$ 帮助我们避免罗素悖论——在这个悖论中，形式为 $\{x\,|\,P(x)\}$ 的“集合”被使用，其中 $P(x)=x\not \in x$。

由此，我们现在可以定义交集。我们定义集合 $x$ 的交集，记为 $\bigcap x$，为 $\{z\in \bigcup x\,|\,(\forall y\in x:z\in y)\}$。

注意，我们现在可以定义子集缩写符号 $\subseteq$。我们说 $x\subseteq y$ 表示 $\forall a:(a\in x)\Rightarrow (a\in y)$。练习：解释为什么集合 $x\subseteq y$ 的补集实际上是一个集合。

现在我们可以证明全集不是一个集合。我们使用与上述相同的论证，即反证法。

定理。 所有集合的集合不是一个集合。 证明 假设全集存在，并设 $V=\{x\,|\,x=x\}$，因为它是全集，它包含宇宙中的所有东西。 现在设 $V^{\prime }=\{x\in V\,|\,x\notin x\}$。根据ZF 5.1，这也是一个集合。 我们知道 $V^{\prime }\in V$，因为 $V$ 包含所有东西。 所以，如果 $V^{\prime }\in V^{\prime }$，那么 $V^{\prime }\notin V^{\prime }$，如果 $V^{\prime }\notin V^{\prime }$，那么 $V^{\prime }\in V^{\prime }$。这是一个矛盾。 因此，全集不是集合。 $\Box$

ZF6（幂集公理） $\forall x:\exists y:\forall z:(z\in y)\Leftrightarrow (\forall a:(a\in z)\Rightarrow (a\in x))$ “如果 $x$ 是一个集合，则存在一个集合 ${\mathcal {P}}(x)$，其元素是 $x$ 的子集。”

因此，空集的幂集是空集的集合，即 ${\mathcal {P}}(\emptyset )=\{\emptyset \}$。

正如我们将看到的，在当前公理体系下，无法定义无限集，因此我们需要以下公理。

ZF7（无限公理） 存在归纳集。归纳集是一个集合 $I$，使得 $\emptyset \in I$，并且 $x\in I\Rightarrow x\cup \{x\}\in I$。

以下公理在某种程度上是一种约定，但集论的各种模型是在没有它或甚至使用与之相反的公理的情况下定义的。

ZF8（正则公理） 对于任何非空集合 $x$，都存在一个 $y\in x$，使得 $x\cap y=\emptyset$。

这八个公理构成了ZF集合论公理的完整列表。

下一个公理被称为选择公理，简称AC。ZF加上AC称为ZFC集合论。

ZFC9 选择公理 (AC) 对于任何非空不相交集合的集合 $S$，存在一个定义在 $S$ 上的函数 $f$，使得对于每个集合 $x\in S$，有 $f(x)\in x$。