集合论/佐恩引理与选择公理/良基

一个二元关系R被称为良基，当且仅当对于每个集合A

$A\subseteq R[A]\Rightarrow A=\emptyset$

定理：一个二元关系R被称为良基，当且仅当对于每个二元关系S

$S\circ R\subseteq R\circ S\Rightarrow R\cap S^{-1}=\emptyset$

证明：令R是一个良基关系，令S是一个关系，满足

$S\circ R\subseteq R\circ S$

令

$X=field(R)$

并且令

$A=dom(R\cap S^{-1})$

那么

$A=dom(R\cap S^{-1})=dom((S\circ R)\cap I_{X})\subseteq dom((R\circ S)\cap I_{X})=dom(S\cap R^{-1})=ran(R\cap S^{-1})\subseteq R[A]$

由此可知A为空集，因此 $R\cap S^{-1}=\emptyset$

反之，假设对于每个关系S，我们有

$S\circ R\subseteq R\circ S\Rightarrow R\cap S^{-1}=\emptyset$

令A是一个集合，满足

$A\subseteq R[A]$

令 $B=field(R)$ 并且令 $S=BxA$。那么

$S\circ R=R^{-1}[B]\times A\subseteq B\times R[A]=R\circ S$

由此可知

$R\circ I_{A}=R\cap (A\times B)=R\cap S^{-1}=\emptyset$

因此

$R[A]=\emptyset$

因此 $A=\emptyset$