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集合论/佐恩引理和选择公理

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集合论中的两个对偶概念与在给定排序下在一个集合中找到“最大”可能的物体以及从多个集合中同时选择物体有关。这些概念用佐恩引理和选择公理来表达;尽管它们听起来很不同,但它们是等价的。也就是说,给定佐恩引理,可以推导出选择公理,反之亦然。选择公理之所以得名,是因为它独立于策梅洛-弗兰克尔集合论公理。因此,将选择公理添加到 ZF 中,使得以前不可能完成的工作成为可能。

佐恩引理

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佐恩引理,通常情况下,是以以下形式出现的

1) 如果一个全序集 S 中的每一个偏序集都有一个上界,那么 S 就有一个极大元。

由于佐恩引理(ZL)无法从策梅洛-弗兰克尔集合论(ZF)的公理中证明或证伪(由库尔特·哥德尔和保罗·科恩的著名工作),因此可以将某些命题 P 视为与佐恩引理(在 ZF 上)逻辑等价的命题。“逻辑等价”意味着在 ZF 中可以证明的蕴含关系,即 ZL ==> P 和 P ==> ZL。“可证明”在这里意味着在经典逻辑中可证明;通常,经典等价形式在直觉逻辑方面是独立的。(拓扑斯理论提供了一个上下文,可以通过反例将经典等价但直觉不等价的语句分开。)

我们立即建立了 ZL 与两个类似命题的逻辑等价性。

2) 设 S 是一个偏序集 ≤。如果每一个链都有一个最小上界,那么 S 中就存在一个极大元。

3) (豪斯多夫极大原理) 设 S 是一个偏序集 ≤,使得 S 的每一个链都有一个上界。那么 S 包含一个极大链(相对于集合包含而言是极大的)。

(1 => 2) 如果每一个链都有一个最小上界,那么 a fortiori 每一个链都有一个上界,因此 1) 的结论成立,因此 2) 的结论也成立。

(2 => 3) 用 Chains(S) 表示 S 中包含的链的偏序集,按集合包含排序。(我们将对 Chains(S) 应用 2),而不是对 S 本身应用!)由于 Chains(S) 中的每一个链都有一个最小上界,即它的并集,因此 2) 为我们提供了 Chains(S) 中的一个极大元,即一个极大链。

一些细节

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Chains(S) 中一个链 (C_i) 的并集 U 本身具有链的形式。对于给定的 x 和 y 在 U 中,我们必须有 x 在 C_j 和 y 在 C_k 中,比如,并且 j < k,不失一般性。但是由于 x 和 y 都在 C_k 中,因此它们是可比较的。

U 作为一个链,构成 (C_i) 的最小上界,因为它作为一个集合就起到了作用!

(3 => 1) 如果一个偏序集 S 中的极大链 C 有一个上界 u,那么 u 属于 C 并构成 S 的极大元。(如果 u 不属于 C,那么 C+{u} 就给出了一个更大的链;如果 u 属于 C,但 v>u,那么 C+{v} 就给出了一个更大的链。)

虽然人们可能期望从上述三个蕴含关系组合而成的自明命题 1) ==> 1) 中得不到任何内容,但实际上,结合这些证明,我们看到,当佐恩引理在一个偏序集 S 上失败时,它也必须在 Chains(S) 上失败,即 S 的链按包含关系排序。因此,如果佐恩引理对基于集合包含的偏序成立,那么它通常情况下也成立!

选择公理

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通常,选择公理的表述是“对于每一个非空集 S,存在一个从 S 的所有非空子集的集合 到 S 的函数 f,使得 f(A) 属于 A”。解析这个表述,我们断言,给定一个集合,存在一种方法可以同时从该集合的每个子集中选择一个元素。这个函数通常被称为“选择函数”。

选择公理的进一步等价

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实际上,有数百条数学命题被证明与选择公理逻辑等价。其中一些命题是纯粹的集合论命题,比如上面的佐恩引理,而另一些则建立在其他数学学科的基础上。

在本节中,我们将介绍其中的一些命题,主要不带证明。

策梅洛良序定理

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也许选择公理最重要的等价命题(至少从纯粹的集合论的角度来看)是策梅洛良序定理。

在我们陈述它之前,我们必须介绍一些术语

集合 上的二元关系 被称为良基,如果不存在 元素的无限序列 满足以下条件:

  1. 对于每个 ,并且
  2. 对于每个 .

集合 上的部分序关系 被称为良序关系,如果

  1. 对于每个 ,要么 ,要么 ,并且
  2. 是良基的。

策梅洛良序定理是一个简单的陈述:每个集合 都可以良序。

蒂霍诺夫定理

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指出任何紧致拓扑空间族的笛卡尔积本身也是紧致的。

非勒贝格可测集的存在性

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考虑单位区间 和由 定义的等价关系。显然,这是一个等价关系

  • ,因为 是有理数。
  • 意味着 是有理数。 那么 也是有理数,因此 .
  • 意味着 是有理数。 那么, 也是有理数。 这意味着 .

现在,**选择**每个等价类中的一个代表。 将此集合称为 可以是勒贝格可测的吗? 答案是否定的。

为了证明这一点,我们注意到 中的任何元素与其等价类的选定代表 的差值是 中的一个有理数。 然而, 中只有可数个有理数; 将它们列举为 。 定义集合 ,即 平移 所得。

假设 是勒贝格可测的。 那么,根据平移不变性, 也是可测的,并且具有相同的度量。 请注意,根据选择过程,集合 都是不同的。 对所有平移取并集

.

如果 的测度为零,那么 的测度也为零,根据可数可加性。

如果 的测度为正,那么 的测度为 ,根据可数可加性。然而,

,因此 。但 不可能在这个范围内,因此 是不可测的。

  1. 证明任何偏序集包含一个极大反链(一个子集,其中任意两个元素不可比较)。

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