信号与系统/滤波器实现

信号与系统

滤波器设计主要基于一组有限的广泛使用的传递函数。优化方法可以设计其他类型的滤波器，但此处列出的函数已得到广泛研究，并且这些滤波器（包括实现它们的电路设计）的设计易于获得。这里介绍的滤波器函数是低通类型的，变换方法允许获得其他常见的滤波器类型，例如高通、带通或带阻。

巴特沃斯滤波器

巴特沃斯滤波器函数被设计为提供最大限度的平坦幅度响应。这是通过所有直到滤波器阶数减一阶的导数在直流时都为零这一事实实现的。幅度响应在通带内没有纹波。它由以下公式给出：

A(j\omega )=|H(j\omega )|={\sqrt {\frac {1}{1+\omega ^{2n}}}}

需要注意的是，虽然幅度响应非常平滑，但阶跃响应显示出明显的过冲。这是由于相位响应不是线性的，或者换句话说，由于群延迟不是恒定的。

幅度响应曲线图显示，斜率为 20n dB/十倍频程，其中 n 是滤波器阶数。这是所有极点低通滤波器的普遍情况。传递函数中的零点可以增强靠近它们频率的斜率，从而掩盖了零极点低通滤波器的这一普遍规律。

该图还显示，无论滤波器阶数如何，所有幅度都穿过 $A(\omega =1)={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ 同一点，对应于大约 -3 db。这个 -3 db 参考值通常用于指定其他类型滤波器的截止频率。

巴特沃斯滤波器没有特别陡峭的下降，但它们与切比雪夫 I 型滤波器一样，都是全极点类型的。这种特殊性导致硬件（或软件，取决于实现方法）减少，这意味着对于类似的复杂性，与具有更陡峭下降的函数（如椭圆滤波器）相比，可以实现更高阶的巴特沃斯滤波器。

巴特沃斯函数的零点

归一化巴特沃斯函数由以下公式间接定义：

H(s)\cdot H(-s)={\frac {1}{1+\omega ^{2n}}}

此函数在单位圆上具有规律排列的零点。已知稳定滤波器的所有极点都在 s 平面左侧，很明显，单位圆上左侧的极点属于 $H(s)$ ，而右侧的极点属于 $H(-s)$ .

归一化巴特沃斯函数的截止频率为 $f_{c}=\omega _{c}/(2\pi )=1/(2\pi )[Hz]$ 。通过缩放圆的半径到 $\omega _{c}=2\pi f_{c}$ 可以获得不同的截止频率。

巴特沃斯传递函数

巴特沃斯滤波器的传递函数形式如下

H(s)={\frac {1}{den(s)}}

它也可以写成极点的函数

H(s)={\frac {k}{\prod _{i=1}^{N}(s-p_{i})}}

由此，分母多项式可以从极点的值中找到。

切比雪夫滤波器

与巴特沃斯滤波器相比，切比雪夫滤波器有一个附加参数：幅度的纹波。这个纹波，可以被认为是非理想的，具有巨大的优势，因为它允许在通带和阻带之间实现更陡峭的滚降。

纹波可能出现在通带中，这是 I 型切比雪夫滤波器的情况，或者出现在阻带中，这是 II 型滤波器的情况。

切比雪夫多项式

切比雪夫多项式具有在范围 $-1<T_{n}(x)<1$ 内保持的特性，对于输入在 −1 < x < 1 范围内，然后在该范围之外迅速增长。这种特性是设计在给定频率范围内具有有限振荡和在边界处具有陡峭滚降的传递函数的良好先决条件。

第一类切比雪夫多项式由递推关系定义

{\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2x\cdot T_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}

第一类切比雪夫多项式的第一个是

T_{0}(x)=1

T_{1}(x)=x

T_{2}(x)=2x^{2}-1

T_{3}(x)=4x^{3}-3x

T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1

I 型切比雪夫

I 型切比雪夫滤波器在通带中显示出纹波。作为角频率 $\omega$ 的函数的幅度响应为 n 阶低通滤波器

G_{n}(\omega )=\left|H_{n}(j\omega )\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)}}}

其中 $\varepsilon$ 是纹波系数， $\omega _{0}$ 是截止频率， $T_{n}()$ 是切比雪夫多项式，阶数为 $n$ 。

通带表现出等纹波行为，纹波由纹波系数 $\varepsilon$ 决定。在通带中，切比雪夫多项式在 0 和 1 之间交替，因此滤波器的增益将在G = 1 的最大值和 $G=1/{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}$ 的最小值之间交替。在截止频率 $\omega _{0}$ 处，增益再次具有 $1/{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}$ 的值，但随着频率增加，它继续下降到阻带中。这种行为在右侧的图中显示出来。在-3 dB 处定义截止频率的常见做法通常不适用于切比雪夫滤波器；相反，截止频率被视为增益最后一次下降到纹波值时的点。