信号与系统/拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

虽然傅里叶级数和傅里叶变换非常适合分析周期或非周期信号的频率成分，但拉普拉斯变换是分析和开发滤波器等电路的首选工具。

傅里叶变换可以被认为是傅里叶级数在非周期信号上的推广。拉普拉斯变换可以被认为是傅里叶变换到复平面上的推广。

单边拉普拉斯变换

对于在所有实数t ≥ 0上定义的函数f(t)，其拉普拉斯变换为函数F(s)，定义如下

F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.

参数s是复数

s=\sigma +j\omega ,\,

，其中σ是实部，ω是虚部。

双边拉普拉斯变换

双边拉普拉斯变换定义如下

F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.

将此定义与傅里叶变换的定义进行比较，可以发现后者是拉普拉斯变换在 $s=j\omega$ 时的特例。

在电气工程领域，双边拉普拉斯变换通常简称为拉普拉斯变换。

拉普拉斯逆变换

拉普拉斯逆变换允许找到对拉普拉斯变换的原始时间函数。

: $>f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds,$

拉普拉斯变换示例

单位冲激函数（狄拉克δ函数） $\delta (t)$

${\mathcal {L}}\left\{\delta (t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}\delta (t)\,dt=1.$

单位阶跃函数， $u(t)$

${\mathcal {L}}\left\{u(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}u(t)\,dt=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,dt=-{\frac {e^{-st}}{s}}{\Biggr |}_{0}^{\infty }.$

上述积分仅当 $\Re (s)>0.$ 收敛。对于 $\Re (s)>0$

${\mathcal {L}}\left\{u(t)\right\}={\frac {1}{s}}.$

指数函数， $e^{-at}u(t)$

${\mathcal {L}}\left\{e^{-at}u(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}e^{-at}u(t)\,dt=\int _{0}^{\infty }e^{-(s+a)t}\,dt=-{\frac {e^{-(s+a)t}}{s+a}}{\Biggr |}_{0}^{\infty }$