狭义相对论/时空

狭义相对论

相对论的现代方法

虽然狭义相对论最初是由爱因斯坦在1905年提出的，但该理论的现代方法依赖于一个四维宇宙的概念，该概念最初是由赫尔曼·闵可夫斯基在1908年提出的。

闵可夫斯基的贡献看似复杂，但只是对毕达哥拉斯定理的扩展

在二维空间中： $h^{2}=x^{2}+y^{2}$

在三维空间中： $h^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

在四维空间中： $s^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+kt^{2}$

(其中 k = $-c^{2}$ )

现代方法使用不变性的概念来探索提供对事物位置和范围的完整物理描述所需的坐标系类型。狭义相对论的现代理论从“长度”的概念开始。在日常经验中，物体看起来无论如何旋转或移动，其长度都保持不变。我们认为事物的简单长度是“不变的”。然而，正如下面的插图所示，我们实际上是在说长度在三维坐标系中看起来是不变的。

二维坐标系中事物的长度由毕达哥拉斯定理给出

x^{2}+y^{2}=h^{2}

如果事物从二维平面倾斜，则这种二维长度不是不变的。在日常生活中，三维坐标系似乎完全描述了长度。长度由毕达哥拉斯定理的三维版本给出

h^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}

该公式的推导如下面的插图所示。

看起来，只要坐标系中包含事物可以倾斜或排列的所有方向，那么该坐标系就可以完全代表事物的长度。然而，很明显，事物也可能在一段时间内发生变化。时间是事物可以排列的另一个方向。这在下图中显示

空间和时间中两个事件之间的直线长度称为“时空间隔”。

1908年，赫尔曼·闵可夫斯基指出，如果事物可以在时间上重新排列，那么宇宙可能是四维的。他大胆地认为，爱因斯坦最近发现的狭义相对论是这个四维宇宙的结果。他提出时空间隔可能与空间和时间通过四维空间中的毕达哥拉斯定理相关

s^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+(ict)^{2}

其中 i 是虚数单位（有时不准确地称为 ${\sqrt {-1}}$ ），c 是一个常数，t 是时空间隔s 所跨越的时间间隔。符号x、y 和z 代表沿相应轴的空间位移。在这个方程中，“秒”成为另一个长度单位。就像厘米和英寸都是长度单位，通过厘米 = “转换常数”乘以英寸相关联一样，米和秒也通过米 = “转换常数”乘以秒相关联。转换常数c 的值为大约 300,000,000 米/秒。现在 $i^{2}$ 等于负一，因此时空间隔由下式给出

s^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ct)^{2}

闵可夫斯基对虚数的使用已被使用“度量张量”的先进几何学所取代。度量张量允许“真实”时间的出现，时空间隔平方表达式中的负号源于当分析时空曲率时距离随时间的变化方式（参见高级文本）。我们现在使用真实时间，但闵可夫斯基关于间隔平方的原始方程仍然有效，因此时空间隔仍然由以下公式给出

s^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ct)^{2}

时空间隔难以想象；它们跨越一个地方和时间到另一个地方和时间，因此对于给定的观察者来说，沿间隔移动的事物的速度已经确定。

如果宇宙是四维的，那么时空间隔（而不是空间长度）将是不变的。无论谁测量特定的时空间隔，无论他们移动的速度有多快，都将得到相同的值。在物理术语中，时空间隔的不变性是一种类型的 **洛伦兹不变性**。时空间隔的不变性具有一些戏剧性的后果。

第一个结果是预测，如果一个物体以每秒 *c* 米的速度移动，那么所有观察者，无论他们移动的速度有多快，都会测量到该物体的相同速度。速度 *c* 将是一个普适常数。这将在下面解释。

当一个物体以 *c* 的速度移动时，时空间隔为 **零**，这将在下面显示

以速度 *v* 在 *x* 方向运动的物体在 *t* 秒内移动的距离为

x=vt

如果没有在 *y* 或 *z* 方向上的运动，那么时空间隔为

s^{2}=x^{2}+0+0-(ct)^{2}

所以：

s^{2}=(vt)^{2}-(ct)^{2}

但是当速度 *v* 等于 *c* 时

s^{2}=(ct)^{2}-(ct)^{2}

因此时空间隔

s^{2}=(ct)^{2}-(ct)^{2}=0

时空间隔为零的情况只发生在速度为 *c* 时（如果 x>0）。所有观察者都观察到相同的时空间隔，因此当观察者观察到时空间隔为零的事物时，他们都观察到它具有 *c* 的速度，无论他们自己移动的速度有多快。

由于历史原因，普适常数 *c* 被称为“真空中的光速”。在闵可夫斯基方法提出的头十年或二十年里，许多物理学家，尽管支持狭义相对论，但预计光可能不会以完全的 *c* 速度传播，而可能以非常接近 *c* 的速度传播。现在很少有物理学家相信真空中的光不会以 *c* 的速度传播。

时空间隔不变性的第二个结果是，时钟在相对于你运动的物体上看起来会走得更慢。假设有两个人，比尔和约翰，分别在两个相互远离的行星上。约翰画了一个比尔在空间和时间中运动的图表。这在下面的插图中显示

由于在行星上，比尔和约翰都认为自己是静止的，只是在时间中运动。约翰发现比尔在约翰称之为空间的区域中运动，以及时间，而比尔认为自己只是在时间中运动。比尔也会对约翰的运动得出相同的结论。对约翰来说，就好像比尔的时轴在运动方向上倾斜，对比尔来说，就好像约翰的时轴倾斜了。

约翰计算比尔的时空间隔的长度为

s^{2}=(vt)^{2}-(ct)^{2}

而比尔认为自己没有在空间中移动，因此写道

s^{2}=(0)^{2}-(cT)^{2}

时空间隔 $s^{2}$ 是不变的。对于所有观察者来说，它具有相同的值，无论谁测量它，无论他们在直线上以何种速度移动。比尔的 $s^{2}$ 等于约翰的 $s^{2}$ ，因此

(0)^{2}-(cT)^{2}=(vt)^{2}-(ct)^{2}

以及

-(cT)^{2}=(vt)^{2}-(ct)^{2}

因此

t=T/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}

.

所以，如果约翰看到比尔用一个静止在比尔坐标系中的时钟测量了一个 1 秒的时间间隔 ( $T=1$ )，约翰将发现，他自己的时钟在相同的两次刻度之间测量的间隔为 $t$ ，被称为坐标时间，它大于一秒。也就是说，运动中的时钟相对于静止观察者的时钟变慢了。这被称为“运动时钟的相对论时间膨胀”。在时钟静止的参考系（比尔坐标系）中测量的时间被称为时钟的固有时间。

约翰还会观察到，静止在比尔星球上的测量棒在运动方向上比他自己的测量棒短。这被称为“运动测量棒的相对论长度收缩”。如果静止在比尔星球上的测量棒的长度为 $X$ ，那么我们将这个量称为该测量棒的固有长度。从约翰星球上测量到的相同测量棒的长度 $x$ ，被称为坐标长度，其表达式为

x=X{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}

.

这个公式可以直接从时间膨胀的结果推导出，并且在假设光速不变的情况下是有效的。

最后一个结论是，沿运动物体的长度方向，时钟看起来会彼此不同步。这意味着，如果一个观察者设置了一排同步的时钟，它们都显示相同的时间，那么另一个以高速沿这排时钟运动的观察者将看到这些时钟都显示不同的时间。换句话说，相对于彼此运动的观察者会看到不同的事件是同时发生的。这种效应被称为相对论相位或同时性的相对性。相对论相位经常被狭义相对论的学生忽视，但如果理解了它，那么双生子佯谬等现象就更容易理解。

时钟沿运动方向不同步的方式可以通过时空间隔不变性和长度收缩的概念计算出来。

在上图中，约翰是静止的。根据比尔的测量，两点之间的距离是简单的空间距离（x），且都在 t=0 时刻。而约翰认为比尔的距离测量是距离（X）和时间间隔（T）的组合。

x^{2}=X^{2}-(cT)^{2}

注意，用大写字母表示的量是固有长度和时间，在本例中指的是约翰的测量值。

比尔的距离 x 是他测量到的约翰认为长度为 X 米的东西的长度。对于比尔来说，是约翰的测量棒在运动方向上收缩了，因此比尔测得的约翰距离 “X” 的值 “x” 是由下式给出的

x=X{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}

.

这种固有长度和坐标长度之间的关系在上面已经看到，它将比尔的固有长度与约翰的测量值联系起来。它也适用于比尔观察约翰的固有长度的方式。

x=X{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}

因此

x^{2}=X^{2}-(v^{2}/c^{2})X^{2}

所以：

(cT)^{2}=(v^{2}/c^{2})X^{2}

以及

cT=(v/c)X

所以： $T=(v/c^{2})X$

对于一个观察者来说，同步的时钟对于另一个以 $v$ 米每秒的速度运动的观察者来说，在运动方向上会产生相位差，相位差为： $(v/c^{2})$ 秒每米。这是狭义相对论最重要的结果之一，学生应该充分理解。

四维宇宙的净效应是，相对于你的运动的观察者似乎具有倾斜于运动方向的时间坐标，并且认为对你来说不是同时发生的事件是同时发生的。运动方向上的空间长度会缩短，因为它们相对于运动方向上的时间轴向上和向下倾斜，类似于从三维空间旋转。

What velocity would cause events A and B to be simultaneous? — 什么速度会导致事件 A 和事件 B 同时发生？

示例

一个观察者记录了事件 A 发生在她旁边，然后一毫秒后在 600 公里外记录了事件 B。另一个观察者需要以多快的速度朝事件 B 的方向运动才能记录到它与事件 A 同时发生？

运动时钟之间的相位差由下式给出：

T=(v/c^{2})X

产生 10^-3 秒相位差所需的速度为

v={\frac {10^{-3}\times 3\times 10^{8}\times c}{6\times 10^{5}}}

这意味着另一个相对于第一个观察者以 0.5c 的速度沿连接事件 A 和事件 B 的直线运动的观察者会认为这两个事件是同时发生的。

解读时空图

解读时空图时需要格外小心。图只显示二维数据，无法忠实地显示例如零长度时空间隔是如何出现的。

当图用来显示空间和时间时，重要的是要注意空间和时间是通过闵可夫斯基方程相关的，而不是通过简单的欧几里德几何相关的。图只是帮助理解空间和时间之间的近似关系，不能假设例如可以使用简单的三角函数关系来关联表示空间位移的线和表示时间位移的线。

有时错误地认为时间膨胀和长度收缩的结果只适用于 x=0 和 t=0 的观察者。这是不正确的。惯性参考系被定义为可以在给定参考系内的任何地方进行长度和时间比较。

可以在一个惯性参考系中的时间差与另一个惯性参考系中的任何时间差进行比较，前提是要记住这些差异适用于相应的线对或同时事件的平面对。

时空

为了理解伽利略相对论和狭义相对论，重要的是开始将空间和时间视为一个称为时空的四维向量空间的不同维度。实际上，由于我们很难可视化四维空间，因此最简单的方法是从一个空间维度和时间维度开始。该图显示了一个图，时间绘制在纵轴上，一个空间维度绘制在横轴上。一个事件是发生在特定时间和特定空间点上的事件。（“尤利乌斯·X 在 6 月 21 日下午 6:17 在新墨西哥州莱米塔尔撞毁了他的汽车。”）一条世界线是在时空图上绘制某个物体的位置随时间变化的曲线（更确切地说，物体的时间随位置变化的曲线）。因此，世界线实际上是时空中的线，而事件是时空中的点。平行于位置轴（x 轴）的水平线是一条同步线；在伽利略相对论中，这条线上的所有事件对于所有观察者来说都是同时发生的。可以看到，伽利略相对论和狭义相对论之间的同步线是不同的；在狭义相对论中，同步线取决于观察者的运动状态。

在时空图中，世界线的斜率具有特殊的意义。注意，垂直的世界线意味着它所代表的物体没有移动 - 速度为零。如果物体向右移动，那么世界线向右倾斜，并且它移动得越快，世界线倾斜得越多。定量地说，我们说

velocity={\frac {1}{slope~of~world~line}}.

(5.1)

注意，这对于负斜率和速度以及正斜率和速度都适用。如果物体的速度随时间变化，那么世界线是弯曲的，并且在任何时间的瞬时速度是世界线在该时间的切线的斜率的倒数。

关于时空图最难理解的是，它们在一个图中代表过去、现在和未来。因此，时空图不会随时间变化 - 物理系统的演化是通过在图中查看在连续时间段内连续的水平切片来表示的。时空图表示事件的演化，但它们本身不会演化。

光锥

在我们四维宇宙中以光速运动的事物具有令人惊讶的性质。如果某个物体以光速沿着 x 轴运动，并在 t 秒内从原点覆盖 x 米，则其路径的时空间隔为零。

$s^{2}=x^{2}-(ct)^{2}$

但是 $x=ct$ 所以

$s^{2}=(ct)^{2}-(ct)^{2}=0$

将此结果推广到一般情况，如果某物体以光速沿任何方向从原点进入或离开，它将具有为 0 的时空间隔。

$0=x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ct)^{2}$

此方程称为闵可夫斯基光锥方程。如果光向原点传播，则光锥方程将描述在特定时刻可能位于原点的所有这些光子的发射位置和时间。如果光从原点传播，则该方程将描述在特定时刻在任何未来时间't'发射的光子的位置。

在表面层面上，光锥很容易解释。它的后表面代表在某一时刻撞击点观察者的光线的路径，而它的前表面代表从点观察者发射的光线的可能路径。沿光锥表面传播的事物被称为 **光状**，此类事物所走的路径称为 **零测地线**。

位于锥体外的事件被称为 **类空间** 或者更准确地说，是 **空间分离**，因为它们与观察者的时空间隔与空间具有相同的符号（根据此处使用的约定为正）。位于锥体内的事件被称为 **类时间** 或 **时间分离**，因为它们的时空间隔与时间具有相同的符号。

但是，光锥不仅仅代表光的传播。如果添加光速是最大可能速度的假设，则空间分离的事件不能直接影响观察者。后锥体内的事件可能已经影响了观察者，因此后锥体被称为“影响过去”，而观察者可以影响前锥体内的事件，因此前锥体被称为“影响未来”。

假设光速是所有通信的最大速度，既不是四维几何的固有属性，也不是四维几何所需要的，尽管如果要通过物理理论来保持 **因果关系** 原则（即：原因先于结果），光速确实是物体的最大速度。

洛伦兹变换方程

到目前为止的讨论涉及两个观察者之间的间隔测量（时间间隔和空间间隔）的比较。观察者可能还想比较更一般的测量，例如两个观察者都记录的单个事件的时间和位置。描述在这种情况下每个观察者如何描述另一个观察者的记录的方程称为洛伦兹变换方程。（注意，以下符号表示坐标。）

下表显示了洛伦兹变换方程。

$x^{'}={\frac {x-vt}{\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}}$	$x={\frac {x^{'}+vt^{'}}{\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}}$
$y^{'}=y$	$y=y^{'}$
$z^{'}=z$	$z=z^{'}$
$t^{'}={\frac {t-(v/c^{2})x}{\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}}$	$t={\frac {t^{'}+(v/c^{2})x^{'}}{\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}}$

参见洛伦兹变换的数学推导。

注意相位( (v/c²)x )是重要的，以及这些关于联合事件的绝对时间和位置的公式如何不同于间隔公式。

洛伦兹变换的时空表示

比尔和约翰以相对速度v运动，并在彼此相遇时同步时钟。比尔和约翰都观察到沿比尔运动方向发生的事件。比尔和约翰将为该事件分配什么时间？上面已经证明相对相位由： $vx/c^{2}$ 给出。这意味着由于事件的位置，比尔将在约翰的时间轴上观察到额外的时间流逝。考虑到相位并使用时间膨胀方程，比尔将观察到他自己的时钟测量的时长可以用约翰的时钟进行比较，使用

$T={\frac {t-vx/c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ .

参考系之间共同事件的时间之间的这种关系被称为洛伦兹变换时间方程。

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