统计/分布/伯努利

没有比抛硬币更基本的随机事件了。正面或反面。它简单到不能再简单了！“伯努利试验”指的是一个可以有两个可能结果的单个事件，每个结果发生的概率是固定的。您可以将这些事件描述为“是或否”问题。例如

伯努利分布只有一个控制参数：成功的概率。一个“公平的硬币”或成功和失败同样可能的实验的概率将是 0.5 (50%)。通常变量p用于表示此参数。

如果一个随机变量X以参数 p 的伯努利分布分布，我们将其概率质量函数写为

f(x)={\begin{cases}p,&{\mbox{if }}x=1\\1-p,&{\mbox{if }}x=0\end{cases}}\quad 0\leq p\leq 1

其中事件X=1代表“是”。

这种分布可能看起来很琐碎，但它仍然是概率中非常重要的基石。二项分布将伯努利分布扩展到涵盖多个“是”或“否”情况，并具有固定概率。仔细观察上面引用的示例。下一节将提出一些类似的问题，这些问题可能会让人了解这些分布是如何相关的。

可以推导出平均值 (E[X])

\operatorname {E} [X]=\sum _{i}f(x_{i})\cdot x_{i}

\operatorname {E} [X]=p\cdot 1+(1-p)\cdot 0

\operatorname {E} [X]=p\,

\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]=\sum _{i}f(x_{i})\cdot (x_{i}-\operatorname {E} [X])^{2}

\operatorname {Var} (X)=p\cdot (1-p)^{2}+(1-p)\cdot (0-p)^{2}

\operatorname {Var} (X)=[p(1-p)+p^{2}](1-p)\,

\operatorname {Var} (X)=p(1-p)\,

伯努利
参数	$0<p<1,p\in \mathbb {R}$
支持	$k=\{0,1\}\,$
PMF	${\begin{cases}q=(1-p)&{\text{for }}k=0\\p&{\text{for }}k=1\end{cases}}$
CDF	${\begin{cases}0&{\text{for }}k<0\\q&{\text{for }}0\leq k<1\\1&{\text{for }}k\geq 1\end{cases}}$
均值	$p\,$
中位数	${\begin{cases}0&{\text{if }}q>p\\0.5&{\text{if }}q=p\\1&{\text{if }}q<p\end{cases}}$
众数	${\begin{cases}0&{\text{if }}q>p\\0,1&{\text{if }}q=p\\1&{\text{if }}q<p\end{cases}}$
方差	$p(1-p)\,$
偏度	${\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}$
峰度	${\frac {1-6pq}{pq}}$
熵	$-q\ln(q)-p\ln(p)\,$
MGF	$q+pe^{t}\,$
CF	$q+pe^{it}\,$
PGF	$q+pz\,$
费舍尔信息	${\frac {1}{p(1-p)}}$