统计/分布

最近的 SAT 考试结果如何？赞比亚 21 岁以下女性的平均身高是多少？工程学院的大学生与文科学院的大学生的啤酒消费量如何比较？

为了回答这些问题，我们会收集数据并将其整理成易于总结、可视化和讨论的形式。从宽泛的角度来看，数据的收集和聚合会形成一个分布。分布通常以直方图或表格的形式出现。这样，我们就可以立即“看到”数据并开始我们的科学探究。

例如，如果我们想更多地了解学生在 SAT 上的最新表现，我们会从 ETS 收集 SAT 成绩，以适合我们的方式进行整理，然后形成这些成绩的分布。结果可能是一个数据表格，也可能是一个图。无论如何，一旦我们“看到”数据，我们就可以开始提出更多关于数据的有趣研究问题。

我们创建的分布通常与数学生成的分布平行。例如，如果我们获得所有高中生的身高并将这些数据绘制成图，该图可能类似于正态分布，正态分布是通过数学生成的。然后，我们可以简单地使用正态分布来近似所有高中生的身高，而无需费力地收集所有高中生的身高，并且不会损失太多精度。

在统计学研究中，我们关注数学分布，为了简单起见，也为了与现实世界相关。理解这些分布将使我们能够更轻松地可视化数据并更快地构建模型。但是，它们不能也不能取代手动数据收集和生成实际数据分布的工作。

某个范围内的百分比是多少？分布显示了数据在某个范围内的百分比。因此，给定一个分布和一组值，我们可以确定数据落在某个范围内的概率。

如果将相同的数据放在不同的分布上，可能会得出不同的结论。因此，在所有统计分析中，将数据放在正确的分布上至关重要。

分布

一些分布的比较

**一些分布**
名称	符号	公式	符号	用途	连续/离散	笔记
伯努利	f(x)=	$p^{x}(1-p)^{1-x}$	p x	2 个结果	离散	1 次试验
二项式	b(x;n, p)=	${n \choose k}{p^{k}(1-p)^{n-k}}$	n 次试验 k 次成功 p 概率	成功次数特定概率非随机	离散
泊松	P(x)=	${\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{x}}{x!}}$	$\mu =\lambda t$ $\sigma ^{2}=\lambda t$	结果/时间结果/区域	离散
超几何	h(x;N,n,k) =	${{{k \choose x}{{N-k} \choose {n-x}}} \over {N \choose n}}$	n 个样本来自 N 个项目 N 个项目中的 k 个是成功， N-k 个是失败	成功发生 X 次与位置无关是随机的	离散	不放回抽样
多元超几何	$h(x_{1},x_{2}...,x_{k};a_{1},a_{2},...a_{k},N,n){=}$	${a_{1} \choose x_{1}}{a_{2} \choose x_{2}}\dots {a_{k} \choose x_{k}} \over {N \choose n}$	样本量 N 个项目 k 个单元格 $A_{1}\dots A_{k}$ 每个单元格包含 $a_{1}\dots a_{k}$ 个元素		离散	不放回抽样
正态分布	$\int _{a}^{b}n(x;\mu ,\sigma ){=}$	$Z{=}{\frac {x-\mu }{\sigma }}$	x $\mu$ 平均值 $\sigma$ 标准差	: ${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}$	连续型	Z 是一个随机变量，具有 $\mu {=}0and\sigma ^{2}{=}1$
卡方分布	$\chi ^{2}{=}$	${\frac {(n-1)s^{2}}{\sigma ^{2}}}$	$S^{2}$ 是从具有方差为 $\sigma ^{2}$ 的正态总体中抽取的样本量的方差	随机样本的方差与总体的关系	连续型
学生 t 分布	T =	${\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}$	${\bar {X}}$ 是大小为 n 的随机样本的平均值	如果不知道 $\sigma$	连续型	v=n-1
F	F=	${\frac {\sigma _{2}^{2}S_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}S_{2}^{2}}}{=}{\frac {S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}}$	连续型