统计学/分布/指数

指数分布是指一种统计分布，用于模拟独立事件之间的间隔时间，这些事件以恒定的平均速率λ发生。这个分布的一些例子是

对于随机变量X，它的概率分布函数是

$f_{x}(x)={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&{\mbox{if }}x\geq 0\\0,&{\mbox{if }}x<0\end{cases}}$

而累积分布函数是

$F_{x}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x<0\\{1-e^{-\lambda x}},&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}$

指数分布记为 $X\in {\mbox{Exp(m)}}$ ，其中m是给定时间段内事件的平均数量。所以如果m=3每分钟，即每分钟有3个事件，那么λ=1/3，即平均每20秒发生一次事件。

我们如下推导出平均值。

\operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }x\cdot f(x)dx

\operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }x\lambda e^{-\lambda x}dx

\operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }(-x)(-\lambda e^{-\lambda x})dx

我们将使用分部积分法，其中 u=−x 和 v=e^−λx。我们可以看到 du=-1 和 dv=−λe^−λx。

\operatorname {E} [X]=\left[-x\cdot e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }(e^{-\lambda x})(-1)dx

\operatorname {E} [X]=[0-0]+\left[{-1 \over \lambda }(e^{-\lambda x})\right]_{0}^{\infty }

\operatorname {E} [X]=\left[0-{-1 \over \lambda }\right]

\operatorname {E} [X]={1 \over \lambda }

我们使用以下公式来计算方差。

\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [X^{2}]-(\operatorname {E} [X])^{2}

\operatorname {Var} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot f(x)dx-\left({2}\right)^{2}

\operatorname {Var} (X)=\int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-2x}dx-{2}

我们将使用分部积分法，其中 $u=-x^{2}$ 和 $v=e^{-2x}$ 。由此得到 $du=-2x$ 和 $v=-2e^{-2x}$ .

\operatorname {Var} (X)=\left\{\left[-x^{2}\cdot e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }(e^{-\lambda x})(-2x)dx\right\}-{1 \over \lambda ^{2}}

\operatorname {Var} (X)=[0-0]+{2 \over \lambda }\int _{0}^{\infty }x\lambda e^{-\lambda x}dx-{1 \over \lambda ^{2}}

我们可以看到，这个积分就是 $\operatorname {E} [X]$ ，我们已经在上面解决了。

\operatorname {Var} (X)={2 \over \lambda }{1 \over \lambda }-{1 \over \lambda ^{2}}

\operatorname {Var} (X)={1 \over \lambda ^{2}}