统计/分布/负二项分布

负二项分布

就像伯努利分布和二项分布在计算 1 次或多次试验中的成功次数方面相关联一样，几何分布和负二项分布在获取 1 次或多次成功的试验次数方面相关联。

负二项分布是指在达到固定数量的期望结果之前，需要执行某件事的次数的概率。例如

• 我需要掷多少次硬币才能得到第 10 次正面？
• 我需要生几个孩子才能得到第三个女儿？
• 我需要从一副牌中抽多少张牌才能得到第二张小丑？

与 二项分布 相似，负二项分布有两个控制参数：任何独立测试的成功概率 p 和期望的成功次数 m。如果随机变量 X 具有参数为 p 和 m 的负二项分布，则它的 概率质量函数 为

$P(X=n)={n-1 \choose m-1}p^{m}(1-p)^{n-m}{\mbox{, for }}n\geq m$.

示例

一名推销员如果在当天卖出 3 本百科全书，就会回家。有些日子他很快就卖掉了。其他日子他到晚上很晚才回来。如果他平均每拜访 10 户人家就能卖出一本百科全书，那么他在只拜访了 10 户人家后回家的概率是多少？

答案

试验次数 X 服从参数为 p=0.1 和 m=3 的负二项分布，因此

$P(X=10)={9 \choose 2}0.1^{3}0.9^{7}=0.0172186884$.

均值

均值可以如下推导。

$\operatorname {E} [X]=\sum _{i}f(x_{i})\cdot x_{i}=\sum _{x=0}^{\infty }{x+r-1 \choose r-1}p^{x}(1-p)^{r}\cdot x$

$\operatorname {E} [X]={0+r-1 \choose r-1}p^{0}\left(1-p\right)^{r}\cdot 0+\sum _{x=1}^{\infty }{x+r-1 \choose r-1}p^{x}(1-p)^{r}\cdot x$

$\operatorname {E} [X]=0+\sum _{x=1}^{\infty }{(x+r-1)! \over (r-1)!x!}p^{x}(1-p)^{r}\cdot x$

$\operatorname {E} [X]={rp \over 1-p}\sum _{x=1}^{\infty }{(x+r-1)! \over r!(x-1)!}p^{x-1}(1-p)^{r+1}$

现在在求和中设 *s = r+1* 和 *w=x-1*。

$\operatorname {E} [X]={rp \over 1-p}\sum _{w=0}^{\infty }{(w+s-1)! \over (s-1)!w!}p^{w}(1-p)^{s}$

$\operatorname {E} [X]={rp \over 1-p}\sum _{w=0}^{\infty }{w+s-1 \choose s-1}p^{w}(1-p)^{s}$

我们可以看到，求和是关于服从 NB(s,p) 分布的负二项式随机变量的完整概率质量函数的求和，该求和结果为 1（可以通过应用 牛顿广义二项式定理 来验证）。

$\operatorname {E} [X]={rp \over 1-p}$

方差

我们使用以下公式推导出方差

$\operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} [X^{2}]-(\operatorname {E} [X])^{2}$

我们已经计算了上面的 E[X]，所以现在我们将计算 E[X²]，然后回到这个方差公式

$\operatorname {E} [X^{2}]=\sum _{i}f(x_{i})\cdot x^{2}=\sum _{x=0}^{\infty }{x+r-1 \choose r-1}p^{x}(1-p)^{r}\cdot x^{2}$

$\operatorname {E} [X^{2}]=0+\sum _{x=1}^{\infty }{x+r-1 \choose r-1}p^{x}(1-p)^{r}x^{2}$

$\operatorname {E} [X^{2}]=\sum _{x=1}^{\infty }{(x+r-1)! \over (r-1)!x!}p^{x}(1-p)^{r}x^{2}$

$\operatorname {E} [X^{2}]={rp \over 1-p}\sum _{x=1}^{\infty }{(x+r-1)! \over r!(x-1)!}p^{x-1}(1-p)^{r+1}x$

再次，令 s = r+1 和 w=x-1。

$\operatorname {E} [X^{2}]={rp \over 1-p}\sum _{w=0}^{\infty }{(w+s-1)! \over (s-1)!w!}p^{w}(1-p)^{s}(w+1)$

$\operatorname {E} [X^{2}]={rp \over 1-p}\sum _{w=0}^{\infty }{w+s-1 \choose s-1}p^{w}(1-p)^{s}(w+1)$

$\operatorname {E} [X^{2}]={rp \over 1-p}\left[\sum _{w=0}^{\infty }{w+s-1 \choose s-1}p^{w}(1-p)^{s}w+\sum _{w=0}^{\infty }{w+s-1 \choose s-1}p^{w}(1-p)^{s}\right]$

第一个求和是服从 NB(s,p) 分布的负二项式随机变量的均值，第二个求和是该变量的概率质量函数的完全求和。

$\operatorname {E} [X^{2}]={rp \over 1-p}\left[{sp \over 1-p}+1\right]$

$\operatorname {E} [X^{2}]={rp(1+rp) \over (1-p)^{2}}$

现在我们将值代入原始方差公式。

$\operatorname {Var} [X]={rp(1+rp) \over (1-p)^{2}}-\left({rp \over 1-p}\right)^{2}$

$\operatorname {Var} [X]={rp \over (1-p)^{2}}$