统计学/分布/正态（高斯）

正态分布

概率密度函数 红色曲线是标准正态分布
累积分布函数
符号	${\mathcal {N}}(\mu ,\,\sigma ^{2})$
参数	μ ∈ R — 平均值 (位置) σ2 > 0 — 方差 (平方 尺度)
支撑	x ∈ R
PDF	${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$
CDF	${\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)\right]$
平均值	μ
中位数	μ
众数	μ
方差	$\sigma ^{2}\,$
偏度	0
峰度	0
熵	${\frac {1}{2}}\ln(2\pi e\,\sigma ^{2})$
MGF	$\exp\{\mu t+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\}$
CF	$\exp\{i\mu t-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\}$
费舍尔信息	${\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/(2\sigma ^{4})\end{pmatrix}}$

正态分布毫无疑问是最广泛使用的分布。它也称为高斯分布。它假设观测值集中在平均值μ附近，并且随着我们离平均值越来越远，这个值迅速衰减。传播的度量由方差$\sigma ^{2}$量化。

一些应用示例：

• 如果平均男性身高为175厘米，方差为6厘米，那么随机发现的男性身高为183厘米的概率是多少？
• 如果平均男性身高为175厘米，方差为6厘米，而平均女性身高为168厘米，方差为3厘米，那么平均男性身高低于平均女性身高的概率是多少？
• 如果假设罐头有4克的方差，那么平均重量需要是多少才能确保99%的罐头重量至少为250克？

密度函数是

$f_{\mu ,\sigma }(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}$

其中 $-\infty <x<\infty$.

并且累积分布函数无法积分成单个表达式。

参数为 μ 和 σ 的正态分布记为 $N(\mu ,\sigma )$. 如果随机变量 X 服从期望值为 μ、标准差为 σ 的正态分布，则记为：$\!\,X\sim N(\mu ,\sigma )$

概率质量函数

为了验证 f(x) 是否是一个有效的 pmf，我们必须验证 (1) 它在所有地方都非负，以及 (2) 它的总积分等于 1。第一个是显而易见的，因此我们继续验证第二个。

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}dx={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}dx$

现在令 $w={x-\mu \over \sigma {\sqrt {2}}}$. 我们看到 $dw={dx \over \sigma {\sqrt {2}}}$.

${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-w^{2}}dw$

现在我们使用 高斯积分，即 $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-w^{2}}\,dw={\sqrt {\pi }}$

${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\pi }}=1$

平均值

我们推导出均值如下

$\operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }x\cdot f(x)dx$

$=\int _{-\infty }^{\infty }x{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}dx$

$=\int _{-\infty }^{\infty }[(x-\mu )+\mu ]{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}dx$

$=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu ){\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}dx+\int _{-\infty }^{\infty }\mu {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}dx$

$={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}(-\sigma ^{2})\int _{-\infty }^{\infty }{-x+\mu \over \sigma ^{2}}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}dx+\mu \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}dx$

现在我们可以看到右边的积分是关于正态概率密度函数的完整积分。因此它等于 1。

$\operatorname {E} [X]={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}(-\sigma ^{2})\left[e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}\right]_{-\infty }^{\infty }+\mu$

$={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}(-\sigma ^{2})[0-0]+\mu$

$=\mu$

方差

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [(X-{E}[X])^{2}]=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}\cdot f(x)dx=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}dx$

我们令 $w={x-\mu \over \sigma {\sqrt {2}}}$

$\operatorname {Var} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }\sigma ^{2}2w^{2}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-w^{2}}\sigma {\sqrt {2}}dw={\frac {2\sigma ^{2}}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }w\cdot we^{-w^{2}}dw$

现在我们使用分部积分法，其中u=w且v=(-1/2)e^(-w^2)

$\operatorname {Var} (X)={\frac {2\sigma ^{2}}{\sqrt {\pi }}}\left(\left[w{-1 \over 2}e^{-w^{2}}\right]_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }{-1 \over 2}e^{-w^{2}}dw\right)$

我们可以看到，根据洛必达法则，括号内的项为零。

$\operatorname {Var} (X)={\frac {2\sigma ^{2}}{\sqrt {\pi }}}\left({1 \over 2}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-w^{2}}dw\right)$

现在我们再次使用高斯积分

$\operatorname {Var} (X)={\frac {2\sigma ^{2}}{\sqrt {\pi }}}{1 \over 2}{\sqrt {\pi }}=\sigma ^{2}$

外部链接

• 交互式正态（高斯）分布网络小程序（Java）