统计/分布/学生 t 分布

学生 t 分布（简称 t 分布）是从卡方分布和正态分布推导出来的。我们将一个变量的标准正态分布值除以一个卡方值的平方根，该卡方值除以其 r 个自由度。数学上，这将显示为

$t={\frac {\mbox{Z}}{\sqrt {\chi _{r}^{2}/r}}}$

其中 $Z={\frac {X-{\bar {X}}}{\sigma }}$ 和 $\chi _{r}^{2}=\chi _{r_{1}}^{2}+...+\chi _{r_{n}}^{2}$ .

学生 t
概率密度函数
累积分布函数
参数	ν > 0 自由度 (实数)
支持	x ∈ (−∞; +∞)
PDF	$\textstyle {\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\!$
CDF	${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\cdot \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\end{matrix}}$ 其中₂F₁是超几何函数
平均值	当 ν > 1 时为 0，否则未定义
中位数	0
众数	0
方差	$\textstyle {\frac {\nu }{\nu -2}}$ 当 ν > 2 时，当 1 < ν ≤ 2 时为 ∞，否则未定义
偏度	当 ν > 3 时为 0，否则未定义
超峰度	$\textstyle {\frac {6}{\nu -4}}$ 当 ν > 4 时，当 2 < ν ≤ 4 时为 ∞，否则未定义
熵	...
MGF	未定义
CF	$\textstyle {\frac {K_{\nu /2}\left({\sqrt {\nu }}\|t\|)({\sqrt {\nu }}\|t\|\right)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)2^{\nu /2-1}}}$ 当 ν > 0 时 $K_{\nu }$ (x): 贝塞尔函数^[1]