正如其名称所示，(连续) 均匀分布是在一个区间内每个点上具有相同概率密度的分布。通俗地说，均匀分布的形状像一个矩形。
从数学上讲，均匀分布的概率密度函数定义为
f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
f ( x ) = 1 b − a {\displaystyle f\left(x\right)={1 \over {b-a}}}
而累积分布函数是
F ( x ) = { 0 , if x ≤ a x − a b − a , if a < x < b 1 , if x ≥ b {\displaystyle F\left(x\right)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x\leq a\\{{x-a} \over {b-a}},&{\mbox{if }}a<x<b\\1,&{\mbox{if }}x\geq b\end{cases}}}
我们推导出平均值如下。
由于均匀分布在除了[a, b]以外的地方都为0，我们可以将自己限制在这个区间内
我们使用以下方程式来计算方差。
![{\displaystyle x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce)
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{for }}x\in [a,b]\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/648692e002b720347c6c981aeec2a8cca7f4182f)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
中的任何值
![{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ab61178bf5349838758ffe3d96135406ed0245)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/924d6297060cfe0ce5b68f81398ddf9c8b1108b5)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{a}^{b}{1 \over {b-a}}xdx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02474545220217edacc399cb2505f4bc51fc7941)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\left.{1 \over (b-a)}{1 \over 2}x^{2}\right|_{a}^{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eccd1945ac02fa5fae45a09a0a479a64a24b61d)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]={1 \over 2(b-a)}\left[b^{2}-a^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d76ab442e3c6278bed5b3043fae803c4c83d167)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]={b+a \over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a4fcd87bd5187b6aa583ec11360620ed1a62ad7)
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [X^{2}]-(\operatorname {E} [X])^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd5a922df13bdee788c0f06474fe002a42c25d8a)
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\left[\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot x^{2}dx\right]-\left({b+a \over 2}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dabaa604c953f4f6e48305f667f5f5e9ba54645)
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\left[\int _{a}^{b}{1 \over {b-a}}x^{2}dx\right]-{(b+a)^{2} \over 4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf2289d688b600ebb79b1dfe3f6ccdce24aa9760)
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X)={1 \over 3(b-a)}[b^{3}-a^{3}]-{(b+a)^{2} \over 4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5070a935e4627f16e4f8e690599f76534a70170)
