统计/分布/伯努利

抛硬币是再基础不过的随机事件了。正面或反面。简单至极！“伯努利试验”指的是一个只有一个结果且每个结果发生的概率固定不变的单个事件。你可以将这些事件描述为“是或否”问题。例如

伯努利分布只有一个控制参数：成功的概率。“公平硬币”或成功和失败概率相等的实验的概率为 0.5（50%）。通常用变量 *p* 来表示此参数。

如果一个随机变量 *X* 服从参数为 p 的伯努利分布，我们将它的概率质量函数写成

f(x)={\begin{cases}p,&{\mbox{if }}x=1\\1-p,&{\mbox{if }}x=0\end{cases}}\quad 0\leq p\leq 1

其中事件 *X=1* 代表“是”。

这个分布可能看起来微不足道，但它仍然是概率中非常重要的基石。二项式分布将伯努利分布扩展到包含多个“是”或“否”情况，这些情况具有固定的概率。仔细看看上面引用的例子。下一节将给出一些类似的问题，这些问题可能有助于理解这些分布之间的关系。

可以推导出平均值 (E[X])

\operatorname {E} [X]=\sum _{i}f(x_{i})\cdot x_{i}

\operatorname {E} [X]=p\cdot 1+(1-p)\cdot 0

\operatorname {E} [X]=p\,

\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]=\sum _{i}f(x_{i})\cdot (x_{i}-\operatorname {E} [X])^{2}

\operatorname {Var} (X)=p\cdot (1-p)^{2}+(1-p)\cdot (0-p)^{2}

\operatorname {Var} (X)=[p(1-p)+p^{2}](1-p)\,

\operatorname {Var} (X)=p(1-p)\,

伯努利
参数	$0<p<1,p\in \mathbb {R}$
支持	$k=\{0,1\}\,$
PMF	${\begin{cases}q=(1-p)&{\text{for }}k=0\\p&{\text{for }}k=1\end{cases}}$
CDF	${\begin{cases}0&{\text{for }}k<0\\q&{\text{for }}0\leq k<1\\1&{\text{for }}k\geq 1\end{cases}}$
均值	$p\,$
中位数	${\begin{cases}0&{\text{if }}q>p\\0.5&{\text{if }}q=p\\1&{\text{if }}q<p\end{cases}}$
众数	${\begin{cases}0&{\text{if }}q>p\\0,1&{\text{if }}q=p\\1&{\text{if }}q<p\end{cases}}$
方差	$p(1-p)\,$
偏度	${\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}$
超额峰度	${\frac {1-6pq}{pq}}$
熵	$-q\ln(q)-p\ln(p)\,$
MGF	$q+pe^{t}\,$
CF	$q+pe^{it}\,$
PGF	$q+pz\,$
Fisher 信息	${\frac {1}{p(1-p)}}$