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概率

基本概念

概率是对可能性进行数值度量。如果一个事件的概率等于 1（或 100%），则它一定发生。如果它的概率等于 0，则它肯定不会发生。如果它的概率等于 1/2（或 50%），则它发生的可能性与不发生的可能性相同。

您知道抛掷一枚公平硬币有 1/2 的概率得到正面，而投掷一个公平骰子有 1/6 的概率得到 1。我们是怎么知道的呢？

有一个称为无差别原理的原则，它指出：如果有 n 个相互排斥且穷尽所有可能的事件，并且就我们所知，除了它们的名字（如“正面”或“反面”）之外，n 个可能性之间没有差异，那么每个可能性应该被分配一个等于 1/n 的概率。（相互排斥：在一次试验中只能实现一个可能性。穷尽所有可能的事件：在一次试验中至少实现一个可能性。相互排斥且穷尽所有可能的事件：在一次试验中只实现一个可能性。）

由于这个原理依赖于我们知道的，因此它涉及认知概率（也称为主观概率）或置信度。如果您确信命题的真实性，则您将其分配一个等于 1 的概率。如果您确信一个命题是错误的，则您将其分配一个等于 0 的概率。如果您没有信息使您相信一个命题的真实性比其虚假性更可能（或不太可能），则您将其分配一个 1/2 的概率。因此，主观概率也被称为无知概率：如果您对可能性之间任何差异一无所知，则您将赋予它们相同的概率。

如果我们将 1 的概率分配给一个命题是因为我们相信它是真的，我们分配的是主观概率，如果我们将 1 的概率分配给一个事件是因为它一定会发生，我们分配的是客观概率。在量子力学出现之前，唯一已知的客观概率是相对频率。

频率定义概率的优点是它允许我们至少近似地测量概率。它的问题在于它指的是总体。您不能通过抛掷一枚硬币来测量正面出现的概率。通过抛掷越来越多的硬币并用正面出现的次数 $N_{H}$ 除以总数 $N.$，您可以获得正面出现的概率的越来越好的近似值。正面出现的精确概率是极限

$p(H)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {N_{H}}{N}}.$

这个公式的意思是，对于任何正数 $\epsilon ,$ 无论它有多小，您都可以找到一个（足够大但有限的）数 $N$ 使得

$\left|p(H)-{\frac {N_{H}}{N}}\right|<\epsilon .$

从一个相互排斥且穷尽所有可能的事件的集合中， $m$ 个事件发生的概率是 $m$ 个事件的概率之和。例如，假设您投掷 1 或 6 就能获胜。获胜的概率是

$p(1{\hbox{ or }}6)=p(1)+p(6)={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}.$

从频率派的观点来看，这几乎是不言而喻的。 $N(1)/N$ 近似于 $p(1),$ $N(6)/N$ 近似于 $p(6),$ 而 $[N(1)+N(6)]/N$ 近似于 $p(1{\hbox{ or }}6).$

两个*独立*事件发生的概率是各个事件概率的乘积。例如，假设你掷两个骰子，如果总点数为12，你赢。那么

$p(6{\hbox{ and }}6)=p(6)\times p(6)={\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{6}}={\frac {1}{36}}.$

根据无差别原理，现在有 $6\times 6=36$ 种等概率的可能性，而用两个骰子掷出总点数为12 只是其中之一。

重要的是要记住，两个事件的*联合概率* $p(A,B)=p(A{\hbox{ and }}B)$ 等于各个概率 $p(A)$ 和 $p(B)$ 的乘积*仅当*这两个事件是独立的，这意味着一个事件的概率不依赖于另一个事件是否发生。从命题的角度来说：命题连接词 $P_{1}{\hbox{ and }}P_{2}$ 为真的概率等于 $P_{1}$ 为真的概率乘以 $P_{2}$ 为真的概率*仅当*其中任一命题为真的概率不依赖于另一命题是真是假。忽视这一点会导致最悲惨的后果。

两个事件的联合概率的一般规则是

$p(A,B)=p(B|A)\,p(A)=p(A|B)\,p(B).$

$p(B|A)$ 是一个 *条件概率*： *在* $A$ *已知的情况下*， $B$ *发生的概率*。

要理解这一点，假设 $N(A,B)$ 是 $A$ 和 $B$ 同时发生或为真的试验次数。 $N(A,B)/N$ 近似于 $p(A,B),$ $N(A,B)/N(A)$ 近似于 $p(B|A),$ 并且 $N(A)/N$ 近似于 $p(A).$ 然而

$p(A,B)\;{\stackrel {N\rightarrow \infty }{\longleftarrow }}\;{\frac {N(A,B)}{N}}={\frac {N(A,B)}{N(A)}}\times {\frac {N(A)}{N}}\;{\stackrel {N\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}\;p(B|A)\,p(A).$

这个结论的直接结果是 *贝叶斯定理*

$p(B|A)={\frac {p(A|B)}{p(A)}}p(B).$

以下公式同样容易得出

$p(X)=p(X|Y)\,p(Y)+p(X|{\overline {Y}})\,p({\overline {Y}}),$

当 ${\overline {Y}}$ 发生或为真时，$Y$ 不会发生或为假。推广到 $n>2$ 个互斥且穷举的可能性应该显而易见。

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给定一个 *随机变量*，它是一组 $X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ 的随机数，我们可能想知道算术平均值

$\langle X\rangle ={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}x_{k}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}$

以及 *标准差*，它是从算术平均值到根均方偏差的距离。

$\sigma (X)={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-\langle X\rangle )^{2}}}.$

标准差是 *统计离散度* 的一个重要指标。

给定 $n$ 个可能的测量结果 $v_{1},\dots v_{n}$，概率为 $p_{k}=p(v_{k}),$ 我们有一个 *概率分布* $\{p_{1},\dots ,p_{n}\},$ 并且我们可能想知道 $X,$ 的 *期望值*，定义为

$\langle X\rangle =\sum _{k=1}^{n}p_{k}x_{k}$

以及相应的标准差

$\sigma (X)={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}p_{k}(x_{k}-\langle X\rangle )^{2}}},$

这是一个方便的 $X$ 模糊度的度量。

我们已经将概率定义为似然的数值度量。那么似然是什么？除了作为数值度量，概率是什么？频率主义定义涵盖了一些情况，认知主义定义涵盖了其他情况，但哪种定义可以涵盖所有情况？似乎概率是我们直觉上理解的那些概念之一，但就像时间或紫色的体验一样，无法用其他概念解释。