量子世界/附录/概率/问题

一些问题

问题 1（蒙提霍尔问题）。游戏节目中的一位玩家被赋予了选择三个门的权利。在其中一扇门后面是大奖（例如，一辆汽车）；在另外两扇门后面是安慰奖（例如，山羊）。玩家选择了一扇门，节目主持人查看了剩下的两扇门并打开其中一扇门。他打开的门后面是安慰奖。主持人然后给玩家提供两种选择：要么坚持最初选择的门，要么换到另一扇关闭的门。哪种选择给玩家赢得大奖的几率更大：换门还是坚持最初的选择？或者说机会相等？

问题 2。假设你连续掷硬币，并等待第一次出现 HTT 模式。例如，如果投掷的序列是

H H T H H T H H T T H H T T T H T H

那么 HTT 模式将在第十次投掷后出现。设 A(HTT) 为 HTT 模式出现前平均的投掷次数，设 A(HTH) 为 HTH 模式出现前平均的投掷次数。以下哪一项是正确的？

(a) A( HTH) < ( HTT), (b) A(HTH) = A(HTT), 或 (c) A(HTH) > A(HTT).

问题 3。假设对某种疾病（例如，艾滋病毒）的检测准确率为 99%。假设随机抽取的人检测结果呈阳性。该人实际患病的概率是多少？

解决方案

问题 1。设 $p(C1)$ 为汽车位于门 1 后面的概率， $p(O3)$ 为主持人打开门 3 的概率，以及 $p(O3|C1)$ 为已知汽车位于门 1 后面，主持人打开门 3 的概率。我们有

p(O3)=p(O3|C1)\,p(C1)+p(O3|C2)\,p(C2)+p(O3|C3)\,p(C3)

以及

p(O3|C2)\,p(C2)=p(C2|O3)\,p(O3).

如果第一个选择是门 1，那么 $p(O3|C1)=1/2,$ $p(O3|C2)=1,$ 以及 $p(O3|C3)=0.$ 因此

p(O3)={\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{3}}+1\times {\frac {1}{3}}+0\times {\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}

因此

p(C2|O3)={\frac {p(O3|C2)\,p(C2)}{p(O3)}}={\frac {1\times {\frac {1}{3}}}{\frac {1}{2}}}={\frac {2}{3}}.

换句话说：如果玩家第一次选择的是门 1，主持人打开的是门 3，那么汽车在门 2 后面的概率是 $2/3,$ 而汽车在门 1 后面的概率是 1 – 2/3 = 1/3。一个更快的理解方式是比较这个游戏与另一个游戏，在这个游戏中，主持人提供选择，要么打开最初选择的门，要么打开 *两扇* 另一扇门（无论哪扇，或者任何一扇，如果有车，就赢）。

注意：这个结果取决于主持人 *故意* 只打开有山羊的门。如果她不知道 - 或者不在乎 (!) - 汽车在哪个门后面，并且随机打开剩余的门，那么最初可能出现的 1/3 的结果会被她打开有山羊的门而删除。在这种情况下，玩家在切换时不会获得任何优势（或劣势）。所以答案取决于游戏的规则，而不仅仅是事件的顺序。当然，玩家可能不知道这方面的“规则”是什么，在这种情况下，他仍然应该换门，因为这样做不会有任何坏处。

问题 2。直到出现 HTT 的平均投掷次数 A(HTT) 等于 8，而 A(HTH) = 10。要了解为什么后者更大，假设你已经投掷了 HT。如果你正在寻找 HTH，并且下一次投掷给你 HTT，那么你下一次看到 HTH 的机会是在总共 6 次投掷之后，而如果你正在寻找 HTT，并且下一次投掷给你 HTH，那么你下一次看到 HTT 的机会是在总共 5 次投掷之后。

问题 3。答案取决于这种疾病的罕见程度。假设 10,000 人中只有一人患有这种疾病。这意味着 100 万人中有 100 人患病。如果对 100 万人进行测试，将会有 99 个真阳性和一个假阴性。剩余 999,900 人中的 99%——即 989,901 人——将产生真阴性，而 1%——即 9,999 人——将产生假阳性。随机抽取一个测试结果为阳性的个体实际上患有这种疾病的概率是真阳性人数除以阳性人数，在本例中为 99/(9999+99) = 0.0098——不到 1%！

寓意

无论是科学数据还是法庭证据——通常都有竞争性的解释，通常每个解释都有一个可能的方面和一个不可能的方面。例如，患病的可能性很小，但测试结果可能是正确的；没有患病的可能性很大，但错误的测试结果的可能性很小。您可以看到准确评估竞争性解释的可能性有多重要，如果您尝试过这些问题，您就会发现我们并不擅长此类评估。

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