量子世界/影响与应用/模糊位置变得更模糊

模糊位置变得更模糊

我们将计算当没有平衡吸引力（如原子氢中原子核和电子之间的吸引力）时，位置概率分布的模糊度随着相应动量的模糊度增加而增加的速率。

由于易于处理，我们选择高斯函数

$\psi (0,x)=Ne^{-x^{2}/2\sigma ^{2}},$

它具有钟形曲线图。它定义了位置概率分布

$|\psi (0,x)|^{2}=N^{2}e^{-x^{2}/\sigma ^{2}}.$

如果我们将此分布归一化，使得 $\int dx\,|\psi (0,x)|^{2}=1,$ 那么 $N^{2}=1/\sigma {\sqrt {\pi }},$ 并且

$|\psi (0,x)|^{2}=e^{-x^{2}/\sigma ^{2}}/\sigma {\sqrt {\pi }}.$

我们还有

• $\Delta x(0)=\sigma /{\sqrt {2}},$
• $\psi (0,x)$ 的傅里叶变换是 ${\overline {\psi }}(0,k)={\sqrt {\sigma /{\sqrt {\pi }}}}e^{-\sigma ^{2}k^{2}/2},$
• 它定义了动量概率分布 $|{\overline {\psi }}(0,k)|^{2}=\sigma e^{-\sigma ^{2}k^{2}}/{\sqrt {\pi }},$
• 并且 $\Delta k(0)=1/\sigma {\sqrt {2}}.$

与 $\psi (0,x)$ 相关的粒子的位置和动量的模糊度，因此是 "不确定性"关系 允许的最小值：$\Delta x(0)\,\Delta k(0)=1/2.$

现在回想一下

${\overline {\psi }}(t,k)=\phi (0,k)e^{-i\omega t},$

其中 $\omega =\hbar k^{2}/2m.$ 它的傅里叶变换为

$\psi (t,x)={\sqrt {\sigma \over {\sqrt {\pi }}}}{1 \over {\sqrt {\sigma ^{2}+i\,(\hbar /m)\,t}}}\,e^{-x^{2}/2[\sigma ^{2}+i\,(\hbar /m)\,t]},$

这定义了位置概率分布

$|\psi (t,x)|^{2}={1 \over {\sqrt {\pi }}{\sqrt {\sigma ^{2}+(\hbar ^{2}/m^{2}\sigma ^{2})\,t^{2}}}}\,e^{-x^{2}/[\sigma ^{2}+(\hbar ^{2}/m^{2}\sigma ^{2})\,t^{2}]}.$

与 $|\psi (0,x)|^{2}$ 的比较表明 $\sigma (t)={\sqrt {\sigma ^{2}+(\hbar ^{2}/m^{2}\sigma ^{2})\,t^{2}}}.$ 因此，

$\Delta x(t)={\sigma (t) \over {\sqrt {2}}}={\sqrt {{\sigma ^{2} \over 2}+{\hbar ^{2}t^{2} \over 2m^{2}\sigma ^{2}}}}={\sqrt {[\Delta x(0)]^{2}+{\hbar ^{2}t^{2} \over 4m^{2}[\Delta x(0)]^{2}}}}.$

以下图表说明了，与一个质量相当于 $C_{60}$ 分子或花生大小的物体相比，一个电子质量的粒子的模糊度增长得有多快。这里我们看到，为什么宏观物体的“一旦清晰，永远清晰”的立场是成立的，但事实并非如此，因为它并不是唯一的原因。

上图：一个电子，$\Delta x(0)=1$ 纳米。在一秒钟内，$\Delta x(t)$ 增加到近 60 公里。

下图：一个电子，$\Delta x(0)=1$ 厘米。 $\Delta x(t)$ 在一秒钟内只增长了 16%。

接下来，一个$C_{60}$ 分子，$\Delta x(0)=1$ 纳米。在一秒钟内，$\Delta x(t)$ 增加到 4.4 厘米。

最后，一颗花生 (2.8 克)，$\Delta x(0)=1$ 纳米。$\Delta x(t)$ 需要宇宙的当前年龄才能增长到 7.5 微米。