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诞生

在厄温·薛定谔发表了以他命名的方程式的同一年，非相对论理论由马克斯·玻恩的洞察力得以完善，他认为薛定谔波函数 $\psi (\mathbf {r} ,t)$实际上只是一个计算概率的工具，并且检测到由$\psi (\mathbf {r} ,t)$ “描述” 的粒子在空间区域 $R$ 中的概率由体积积分 给出

$\int _{R}|\psi (t,\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}r=\int _{R}\psi ^{*}\psi \,d^{3}r$

— 只要进行适当的测量，在本例中是对粒子在 $R$ 中存在的测试。由于在任何地方（无论在哪里）找到粒子的概率必须是 1，因此只有平方可积 函数才能“描述”一个粒子。这排除了 $\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} },$ 这不是平方可积的。换句话说，没有粒子的动量能像 $\hbar$ 乘以 波矢 $\mathbf {k}$ 那样锋利，而不是由不同动量的真实概率分布给出。

给定一个概率密度函数 $|\psi (x)|^{2}$，我们可以定义期望值

$\langle x\rangle =\int |\psi (x)|^{2}\,x\,dx=\int \psi ^{*}\,x\,\psi \,dx$

以及标准差 $\Delta x={\sqrt {\int |\psi |^{2}(x-\langle x\rangle )^{2}}}$

以及 $|\psi (x)|^{2}$ 的更高矩。同样地，

$\langle k\rangle =\int {\overline {\psi }}\,^{*}\,k\,{\overline {\psi }}\,dk$  和  $\Delta k={\sqrt {\int |{\overline {\psi }}|^{2}(k-\langle k\rangle )^{2}}}.$

以下是另一个关于 $\langle k\rangle :$ 的表达式：

$\langle k\rangle =\int \psi ^{*}(x)\left(-i{\frac {d}{dx}}\right)\psi (x)\,dx.$

为了验证这两个表达式实际上是相等的，我们将  $\psi (x)=(2\pi )^{-1/2}\int {\overline {\psi }}(k)\,e^{ikx}dk$  代入到后一个表达式中

$\langle k\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \psi ^{*}(x)\left(-i{\frac {d}{dx}}\right)\int {\overline {\psi }}(k)\,e^{ikx}dk\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \psi ^{*}(x)\int {\overline {\psi }}(k)\,k\,e^{ikx}dk\,dx.$

接下来，我们将 $\psi ^{*}(x)$ 替换为 $(2\pi )^{-1/2}\int {\overline {\psi }}\,^{*}(k')\,e^{-ik'x}dk'$  并随意地交换积分的顺序，这在物理学中很常见

$\langle k\rangle =\int \!\int {\overline {\psi }}\,^{*}(k')\,k\,{\overline {\psi }}(k)\left[{\frac {1}{2\pi }}\int e^{i(k-k')x}dx\right]dk\,dk'.$

方括号中的表达式代表狄拉克的delta 分布 $\delta (k-k'),$，其定义特征是 $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,\delta (x)\,dx=f(0)$，对于任何连续函数 $f(x).$（如果你没有注意到，这就证明了要证明的东西。）

海森堡

在量子力学同样辉煌的 1926 年，维尔纳·海森堡 证明了所谓的“不确定性”关系

$\Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2.$

海森堡谈到了 *Unschärfe*，它的字面意思是“模糊”而不是“不确定”。由于关系 $\Delta x\,\Delta k\geq 1/2$ 是 $\psi (x)$ 和 ${\overline {\psi }}(k)$ 通过傅里叶变换 相互关联的事实，我们把证明留给数学家。位置和动量的模糊关系遵循 $p=\hbar k$。它表明，位置的模糊性（用 $\Delta x$ 测量）和相应动量的模糊性（用 $\Delta p=\hbar \Delta k$ 测量）必须使得它们的乘积至少等于 $\hbar /2.$