量子世界/严重疾病/薛定谔

薛定谔

如果电子是驻波，为什么它应该被限制在一个圆圈内？在德布罗意关键地认识到粒子是某种波之后，成熟的量子理论在不到三年的时间里就被发现了，而且不止一次，而是两次。由 维尔纳·海森堡 在 1925 年发现，由 埃尔温·薛定谔 在 1926 年发现。如果我们让电子成为三维空间中的驻波，我们就拥有了推导出薛定谔方程所需的一切，而薛定谔方程是成熟理论的核心。

让我们先从一维空间开始。 角波数 $k=2\pi /\lambda$ 和 角频率 $\omega =2\pi /T=2\pi \nu$（无论如何，如果你熟悉 复数）最简单的数学描述是函数

$\psi (x,t)=e^{i(kx-\omega t)}.$

让我们用电子的能量 $E=h\nu =\hbar \omega$ 和动量 $p=h/\lambda =\hbar k:$ 来表示 相位 $\phi (x,t)=kx-\omega t$：

$\psi (x,t)=e^{i(px-Et)/\hbar }.$

关于 $x$ 和 $t$ 的偏导数为

${\partial \psi \over \partial x}={i \over \hbar }p\psi \quad {\hbox{and}}\quad {\partial \psi \over \partial t}=-{i \over \hbar }E\psi .$

我们还需要关于 $\psi$ 的二阶偏导数关于 $x$

${\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}=\left({ip \over \hbar }\right)^{2}\psi .$

因此，我们有

$E\psi =i\hbar {\partial \psi \over \partial t},\quad p\psi =-i\hbar {\partial \psi \over \partial x},\quad {\hbox{and}}\quad p^{2}\psi =-\hbar ^{2}{\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}.$

在非相对论性经典物理学中，动能和动量 $p$ 之间通过色散关系相关联

$E=p^{2}/2m.$

这种关系也适用于非相对论量子物理。稍后您将了解原因。

在三维空间中，$p$ 是向量 ${\textbf {p}}$ 的大小。如果粒子还具有势能 $V({\textbf {r}},t)$ 和势动量 ${\textbf {A}}({\textbf {r}},t)$（在这种情况下它不是自由的），以及如果 $E$ 和 ${\textbf {p}}$ 分别代表粒子的总能量和总动量，那么色散关系为

$E-V=({\textbf {p}}-{\textbf {A}})^{2}/2m.$

向量的平方 ${\textbf {v}}$ 指的是 点积（或标量积） ${\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}}$。稍后您将了解为什么我们用诸如 $V({\textbf {r}},t)$ 和 ${\textbf {A}}({\textbf {r}},t).$ 这样的 场 来表示对粒子运动的可能影响。

回到我们只有单一空间维度的虚拟世界，允许存在势能 $V(x,t)$，将 微分算符 $i\hbar {\partial \over \partial t}$ 和 $-\hbar ^{2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}$ 代入得到的色散关系中的 $E$ 和 $p^{2}$，并将得到的算符方程的两边作用于 $\psi ,$ 我们得到了 一维（时间依赖） **薛定谔方程**

$i\hbar {\partial \psi \over \partial t}=-{\hbar ^{2} \over 2m}{\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}+V\psi$

在三维空间中，同时存在势能 $V({\textbf {r}},t)$ 和势动量 ${\textbf {A}}({\textbf {r}},t)$，我们从关系式 $E-V=({\textbf {p}}-{\textbf {A}})^{2}/2m,$ 出发，将 $i\hbar {\partial \over \partial t}$ 代入 $E$，$-i\hbar {\partial \over \partial {\textbf {r}}}$ 代入 ${\textbf {p}}.$ 微分算符 ${\partial \over \partial {\textbf {r}}}$ 是一个向量，其分量是微分算符 $\left({\partial \psi \over \partial x},{\partial \psi \over \partial y},{\partial \psi \over \partial z}\right).$ 结果

$i\hbar {\partial \psi \over \partial t}={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\partial \over \partial {\textbf {r}}}-{\textbf {A}}\right)^{2}\psi +V\psi ,$

其中 $\psi$ 现在是 ${\textbf {r}}=(x,y,z)$ 和 $t.$ 这就是三维的**薛定谔方程**。在非相对论研究中（薛定谔方程是有限制的），势动量通常可以忽略不计，这就是为什么薛定谔方程通常以这种形式给出

$i\hbar {\partial \psi \over \partial t}=-{\hbar ^{2} \over 2m}\left({\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\psi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\psi \over \partial z^{2}}\right)+V\psi$

自由薛定谔方程（即使没有势能项）也满足 $\psi (x,t)=e^{i(kx-\omega t)}$（一维）或 $\psi ({\textbf {r}},t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$（三维），只要 $E=\hbar {\omega }$ 等于 $p^{2}/2m=(\hbar k)^{2}/2m,$ 也就是说：$\omega (k)=\hbar k^{2}/2m.$ 然而，由于我们正在处理一个 齐次线性微分方程 - 它告诉我们解可以相加或乘以任意常数以产生额外的解 - 任何形式的函数

$\psi (x,t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int {\overline {\psi }}(k)\,e^{i[kx-\omega (k)t]}dk={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int {\overline {\psi }}(k,t)\,e^{ikx}dk$

其中 ${\overline {\psi }}(k,t)={\overline {\psi }}(k)e^{-i\omega (k)t}$ 解决了（一维）薛定谔方程。如果没有指定积分边界，那么我们在 实数轴 上积分，也就是说，积分定义为极限 $\lim _{L\rightarrow \infty }\int _{-L}^{+L}.$ 反之亦然：所有解都是这种形式。积分前面的因子纯粹出于美观原因而存在，正如您现在将要认识到的。 ${\overline {\psi }}(k,t)$ 是 $\psi (x,t),$ 的 傅里叶变换，这意味着

${\overline {\psi }}(k,t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int \psi (x,t)\,e^{-ikx}dx.$

$\psi (x,t)$ 的傅里叶变换存在，因为积分 $\int |\psi (x,t)|dx$ 是有限的。在 下一节 中，我们将了解为什么此积分是有限的。

因此，我们现在有一个条件，每个电子 “波函数” 必须满足，以满足适当的色散关系。 如果它（以及薛定谔方程）包含任何一个或两个 势 ${\textbf {V}}$ 和 ${\textbf {A}}$，那么找到解可能很困难。 作为一名初露锋芒的量子力学研究者，你将花费相当多的时间学习如何用各种势来解薛定谔方程。