量子世界/附录/概率

概率

基本概念

概率是可能性的一种数值度量。如果一个事件的概率等于 1（或 100%），那么它一定发生。如果它等于 0，那么它绝对不会发生。如果它等于 1/2（或 50%），那么它发生的可能性与不发生的可能性相同。

您会知道抛一枚公平的硬币正面朝上的概率为 1/2，抛一个公平的骰子出现 1 的概率为 1/6。我们是如何知道的？

有一个叫做“无差异原理”的原理，它指出：如果有 n 个互斥且穷尽的可能性，并且据我们所知，除了名字（例如“正面”或“反面”）之外，n 种可能性之间没有差异，那么每种可能性都应该被分配一个等于 1/n 的概率。（“互斥”：在一次试验中只能实现一种可能性。“穷尽”：在一次试验中至少实现一种可能性。“互斥且穷尽”：在一次试验中恰好实现一种可能性。）

由于这个原理诉诸于我们“知道”的东西，所以它涉及“认知”概率（也称为“主观”概率）或“信念度”。如果您确信一个命题的真值，那么您将其概率分配为 1。如果您确信一个命题是假的，那么您将其概率分配为 0。如果您没有任何信息让您相信一个命题的真值比假值更可能（或更不可能），那么您将其概率分配为 1/2。因此，主观概率也被称为“无知概率”：如果您不知道可能性之间存在任何差异，您会将它们分配为相同的概率。

如果我们因为“相信”一个命题是真而将其概率分配为 1，那么我们分配的是主观概率，如果我们因为一个事件“必然”发生而将其概率分配为 1，那么我们分配的是客观概率。在量子力学出现之前，唯一已知的客观概率是“相对频率”。

频率主义概率定义的优势在于它允许我们至少近似地测量概率。它遇到的问题是它指的是“总体”。您不能通过抛一枚硬币来测量正面朝上的概率。您可以通过抛越来越多的硬币 $N$ 并将正面朝上的次数 $N_{H}$ 除以 $N.$ 来获得对正面朝上概率的越来越好的近似值。正面朝上的精确概率是以下极限

$p(H)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {N_{H}}{N}}.$

这个公式的含义是，对于任何正数 $\epsilon ,$ 无论它有多小，您都可以找到一个（足够大但有限）的数字 $N$ 使得

$\left|p(H)-{\frac {N_{H}}{N}}\right|<\epsilon .$

从一个互斥且穷尽的 $n$ 个可能事件中发生 $m$ 个事件的概率是这 $m$ 个事件的概率之和。例如，假设您在掷骰子时掷出 1 或 6 就会获胜。获胜的概率是

$p(1{\hbox{ or }}6)=p(1)+p(6)={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}.$

从频率论的角度来看，这几乎是显而易见的。 $N(1)/N$ 近似于 $p(1),$ $N(6)/N$ 近似于 $p(6),$ 并且 $[N(1)+N(6)]/N$ 近似于 $p(1{\hbox{ or }}6).$

两个*独立*事件发生的概率是各个事件概率的乘积。例如，假设你掷两个骰子，如果总和是 12，你赢了。那么

$p(6{\hbox{ and }}6)=p(6)\times p(6)={\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{6}}={\frac {1}{36}}.$

根据无差别原理，现在有 $6\times 6=36$ 种等概率的可能性，而用两个骰子掷出总和为 12 是其中之一。

务必牢记，两个事件 $A,B$ 的 联合概率 $p(A,B)=p(A{\hbox{ and }}B)$ 等于各个概率 $p(A)$ 和 $p(B)$ 的乘积，当且仅当 两个事件是独立的，也就是说，一个事件发生的概率与另一个事件是否发生无关。用命题来说：命题 $P_{1}{\hbox{ and }}P_{2}$ 为真的概率等于 $P_{1}$ 为真的概率乘以 $P_{2}$ 为真的概率，当且仅当 任何一个命题为真的概率与另一个命题是真是假无关。忽视这一点会带来 最悲惨的后果。

两个事件联合概率的一般规则是

$p(A,B)=p(B|A)\,p(A)=p(A|B)\,p(B).$

$p(B|A)$ 是一个 条件概率：在 $A.$ 发生的条件下，$B$ 发生的概率。

为了看到这一点，令 $N(A,B)$ 为同时发生 $A$ 和 $B$ 或为真的试验次数。 $N(A,B)/N$ 近似于 $p(A,B),$ $N(A,B)/N(A)$ 近似于 $p(B|A),$ 以及 $N(A)/N$ 近似于 $p(A).$ 但是

$p(A,B)\;{\stackrel {N\rightarrow \infty }{\longleftarrow }}\;{\frac {N(A,B)}{N}}={\frac {N(A,B)}{N(A)}}\times {\frac {N(A)}{N}}\;{\stackrel {N\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}\;p(B|A)\,p(A).$

这个结果的一个直接推论就是 贝叶斯定理

$p(B|A)={\frac {p(A|B)}{p(A)}}p(B).$

以下内容同样容易建立

$p(X)=p(X|Y)\,p(Y)+p(X|{\overline {Y}})\,p({\overline {Y}}),$

其中 ${\overline {Y}}$ 发生或为真，当且仅当 $Y$ 不发生或为假。对于 $n>2$ 个互斥且完备的可能性，其推广应该是显而易见的。

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给定一个 随机变量，它是一个随机数的集合 $X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$，我们可能想知道它的算术平均值

$\langle X\rangle ={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}x_{k}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}$

以及 *标准差*，它是相对于算术平均值的均方根偏差。

$\sigma (X)={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-\langle X\rangle )^{2}}}.$

标准差是*统计离散度*的一个重要衡量指标。

给定 $n$ 个可能的测量结果 $v_{1},\dots v_{n}$，其概率为 $p_{k}=p(v_{k}),$，我们得到一个*概率分布* $\{p_{1},\dots ,p_{n}\},$，我们可能想知道*期望值*是什么 $X,$，定义如下：

$\langle X\rangle =\sum _{k=1}^{n}p_{k}x_{k}$

以及相应的标准差

$\sigma (X)={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}p_{k}(x_{k}-\langle X\rangle )^{2}}},$

这是测量 $X$ 模糊度的便捷方法。

我们已经将概率定义为一种可能性数值度量。那么什么是可能性呢？除了数值度量之外，概率是什么呢？频率定义涵盖了一些情况，认识论定义涵盖了其他情况，但哪种定义可以涵盖所有情况？似乎概率是我们直观上有意义的概念之一，但它就像时间或紫色的体验一样，无法用其他概念来解释。