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时间无关薛定谔方程

如果势能V不依赖于时间，那么薛定谔方程的解是时间无关函数 $\psi (\mathbf {r} )$ 和时间相关相位因子 $e^{-(i/\hbar )\,E\,t}$ 的乘积。

$\psi (t,\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} )\,e^{-(i/\hbar )\,E\,t}.$

因为概率密度 $|\psi (t,\mathbf {r} )|^{2}$ 与时间无关，这些解被称为稳态。

将 $\psi (\mathbf {r} )\,e^{-(i/\hbar )\,E\,t}$ 代入

$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\psi +V\psi$

发现 $\psi (\mathbf {r} )$ 满足时间无关薛定谔方程

$E\psi (\mathbf {r} )=-{\hbar ^{2} \over 2m}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )\,\psi (\mathbf {r} ).$