拓扑学/基本概念集合论

本章简要描述了整本书中使用的基本集合论概念，不是作为一本全面的指南，而是作为读者应该熟悉的材料和相关符号的清单。想要深入了解集合论的读者可以阅读集合论维基教科书。

基本定义

空集用符号 $\varnothing$ 表示。包含元素 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ 的有限集用 $\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}$ 表示。集合论者通常，尽管有些草率，不严格区分单元素集 $\{x\}$ 和它的单个元素 $x$.

为了更深入地理解集合元素之间的关系，我们必须首先定义一些术语。令 *A* 和 *B* 表示两个集合。

• *A* 和 *B* 的并集，用 $A\bigcup {B}$ 表示，是所有属于 *A* 或 *B*（或两者都属于）的 *x* 的集合。
• *A* 和 *B* 的交集，用 $A\bigcap {B}$ 表示，是所有同时属于 *A* 和 *B* 的 *x* 的集合。
• *A* 和 *B* 的差集，用 $A\backslash B$ 或 $A-B$ 表示，是所有满足 $x\in A$ 但不满足 $x\notin B$ 的 $x$ 的集合。
  • 在包含“所有事物”的集合（通常用 *U* 表示）的上下文中，*A* 的补集，用 $A^{c}$ 表示，是 $U\backslash A$.
• *A* 和 *B* 的对称差，用 $A\Delta B$ 表示，定义为 $A\Delta B=(A\backslash B)\bigcup {(B\backslash A)}$.
• A 是 B 的 子集，记为 $A\subseteq B$，当且仅当 A 中的每个元素也属于 B。换句话说，当 $\forall x\in A:x\in B$。这些集合的一个重要特性是 $A=B$ 当且仅当 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$。
• A 是 B 的 真子集，记为 $A\subsetneq B$，当且仅当 $A\subseteq B$ 且 $A\neq B$。（我们不使用符号 $A\subset B$，因为其意义并不总是明确的。）
• A 的 基数，记为 $\left|A\right|$，是 A 中元素的数量。

  例子

  • $\left|\left\{1,2,3,4,5\right\}\right|=5$
  • $\left|\varnothing \right|=0$
  • $\left|\left\{\varnothing \right\}\right|=1$
• A 的 幂集，记为 $P(A)$，是 A 的所有子集的集合。

  例子

  • $P(\varnothing )=\left\{\varnothing \right\}$
  • $P(\left\{x\right\})=\left\{\varnothing ,\left\{x\right\}\right\}$
  • $P(\left\{x,y\right\})=\left\{\varnothing ,\left\{x\right\},\left\{y\right\},\left\{x,y\right\}\right\}$

请注意 $\left|P(A)\right|=2^{\left|A\right|}$.

有序的n元组 表示为 $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$. 对于两个有序集合 $X=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ 和 $Y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})$, 我们有 $X=Y$ 当且仅当 $\forall i\in \mathbb {N} ,1\leq i\leq n:x_{i}=y_{i}$.

N元组可以用集合来定义。例如，有序对 $\langle x,y\rangle$  由卡齐米日·库拉托夫斯基 定义为 $\left(x,y\right):=\left\{\{x\},\{x,y\}\right\}$. 现在n元组被定义为

$(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\ :=\ \{\langle 1,x_{1}\rangle ,\langle 2,x_{2}\rangle ,\ldots ,\langle n,x_{n}\rangle \}.$

现在我们可以使用有序对的概念来讨论两个集合的笛卡尔积。A 和 B 的笛卡尔积，表示为 $A\otimes B$, 是所有可能的由 A 中的第一个元素和 B 中的第二个元素组成的有序对的集合；也就是说，

$A\otimes B=\left\{(a,b)~\left|~a\in A,~b\in B\right.\right\}$.

现在我们已经定义了笛卡尔积，我们可以转向二元关系和函数的概念。如果 $R\subseteq A\otimes B$，我们说集合 R 是从 A 到 B 的二元关系。如果 $(x,y)\in R$，通常写为 xRy。如果 R 是一个关系，则所有与某个 y 有关系 R 的 x 的集合称为 R 的定义域，记为 domR。所有y 的集合，使得对于某个 x，x 与 y 有关系 R，称为 R 的值域，记为 ranR。如果二元关系 F 满足在其定义域中的每个元素 x 恰好有一个元素 y 在其值域中，使得 xFy，则称 F 为一个函数。此外，如果 F 是一个函数，则典型的符号是 $F(x)=y$ 而不是 xFy。

我们应该讨论几种特殊类型的函数。一个函数 $F:A\to B$ 被称为映射到集合 B 上，或者称作从 A 到 B 的满射函数，如果 ran$F=B$。一个函数 F 被称为单射或一对一函数，如果 $a_{1}\in {\text{dom }}F,~a_{2}\in {\text{dom }}F,{\text{ and}}~a_{1}\neq a_{2}$ 意味着 $F(a_{1})\neq F(a_{2})$。既是单射又是满射的函数被称为双射。

练习

如果你能成功地解答以下问题，你就准备好学习拓扑学了！请花时间解决这些问题。

1. 证明空集是任何集合的子集。
2. 考虑集合 $A_{n}=(-n,n)$，其中 n 是自然数集中的元素。所有 $A_{n}$（n 为自然数）的并集是否等于 $\mathbb {R}$（所有实数的集合）？请证明你的答案。
3. 使用上面的 $A_{n}$，证明 $A_{n}$ 中没有有限子集具有这样的性质：该有限子集的并集等于 $\mathbb {R}$。当你学习拓扑学时，你会发现这构成了一个证明，表明 $\mathbb {R}$ 不是紧致的。