拓扑/上同调

简介

上同调 是一个与同调密切相关的概念，它是从一个叫做范畴论 的数学分支的意义上来说是反变的。在同调理论中，我们研究从 n 维结构到其 (n-1) 维边界的映射之间的关系。然而，在上同调中，映射是反转的，我们研究的是从这些群到其他群的映射群，而不是链群。

虽然这种描述可能意味着上同调理论在某种程度上与同调理论一样强大或不如同调理论强大，但这种印象是错误的，因为事实证明，空间的上同调通常更强大。此外，了解空间的同调可以让我们得到上同调，而上同调极大地限制了空间可以具有的同调。

Hom(A,B) 和范畴对偶

Hom(A,B) 的定义

Hom(A,B) 是所有同态 $h:A\to B$ 在复合下的群。然而，这个术语可以在许多领域适用，在拓扑空间的背景下，它是连续函数的群。因此，最好将该群视为所有保持结构的函数的群。

这种构造是范畴论的核心，范畴论已经成功地作为代数拓扑的许多部分的基础理论。现在我们需要的是一个群 $C$ 的对偶是 $C^{*}=Hom(C,G)$，并且 $(C^{*})^{*}=Hom(Hom(C,G),G)$

上链复形

在同调理论中，我们使用链复形

$\cdots C_{n}{\xrightarrow {\partial _{n}}}C_{n-1}\cdots$

形成我们的同调群 $H_{n}(X)=Ker(\partial _{n})/Im(\partial _{n+1})$。以它为灵感，我们形成

$\delta ^{n}:C_{n-1}^{*}\to C_{n}^{*}$

其中 $C_{n}^{*}=Hom(C_{n},G)$ 对于给定的群 G。我们的上链复形如下

$\cdots Hom(C_{n},G){\xrightarrow {\delta ^{n}}}Hom(C_{n-1},G)\cdots$

为了找到我们的上同调群 $H^{n}(X;G)$，请注意，这与我们选择的群 $G$有关，因此对于给定的方法，我们必须适当地选择 $G$。

示例

(正在建设中)

练习

(正在建设中)