范畴论
| 介绍 |
| 范畴 |
| 函子 |
| 自然变换 |
| 泛构造 |
| 未来章节 |
| 参考文献 |
这本维基教科书是范畴论的介绍。 它面向那些对抽象数学的一个或多个分支（如群论、分析或拓扑学）有一定了解的人。 这本书包含了许多来自数学各个分支的例子。 如果你不熟悉一些提到的数学类型，不要担心。 如果所有的例子都不熟悉，最好先研究一些例子再继续。
范畴是一种数学结构，就像群或向量空间一样，由公理抽象定义。 群是以这种方式定义的，以便研究对称性（物理对象和方程的对称性，以及其他事物）。 向量空间是向量微积分的抽象。
使范畴论不同于其他结构研究的是，从某种意义上说，范畴的概念是一种数学的抽象。 （这不能被转化为一个精确的数学定义！）这使得范畴论具有非同寻常的自指性，并且能够处理数学逻辑处理的许多相同问题。 特别是，它提供了一种统一不同数学部分的许多概念的语言。
更详细地说，范畴具有对象和态射或箭头。 （最好将态射视为箭头：“态射”这个词让你认为它们是集合映射，而它们不总是集合映射。 范畴的正式定义在关于范畴的章节中给出。）
- 群范畴以群为对象，以同态为箭头。
- 向量空间范畴以向量空间为对象，以线性映射为箭头。
保留结构的范畴之间的映射被称为函子。
- 群的底层集合确定了一个从群范畴到集合范畴的函子。
- 尖空间的基本群确定了一个从尖拓扑空间范畴到群范畴的函子。 事实上，它是一个函子意味着从尖空间 S 到尖空间 T 的连续点保持映射会诱导出从 S 的基本群到 T 的基本群的群同态。
范畴本身也形成一个范畴，以函子为箭头。 最根本的是，特定范畴之间的函子形成一个范畴：它的态射被称为自然变换。 范畴论具有自然变换这一事实可以说是使范畴论如此重要的唯一特征。
范畴论是由塞缪尔·艾伦伯格和桑德斯·麦克莱恩在 1940 年代发明的，作为一种表达代数拓扑中某些构造的方法。 范畴论在随后的几十年中迅速发展。 它已成为数学的一个独立部分，既作为其本身被研究，也被广泛用作表达不同领域之间数学思想的统一语言。
例如，代数拓扑将几何中感兴趣的领域与代数中感兴趣的领域联系起来。 另一方面，代数几何则朝相反的方向进行，例如，将每个交换环与其素理想谱联系起来。 这些领域是最早使用范畴论工具进行研究的领域。 后来的应用扩展到抽象代数、逻辑、计算机科学和物理学等领域。
由于范畴的概念非常普遍，因此可以预期，对所有范畴可证明的定理通常不会太深。 因此，范畴论中的许多定理都是针对特定类别的范畴陈述和证明的。
- 同调代数关注阿贝尔范畴，它展示了由阿贝尔群范畴所暗示的特征。
- 逻辑使用拓扑斯理论进行研究：拓扑斯是一个范畴，它具有一些与集合范畴相同的性质，但它允许拓扑斯的逻辑比经典逻辑更弱。 范畴论的可塑性使其特点在于，拓扑斯最初是为了研究代数几何而开发的。
范畴推理可以识别特定论证或结果作为更一般理论的结果。 例如，在最大公约数理论的研究中，它本质上是唯一这一事实仅仅来自于任何范畴中乘积的唯一性，因此只是一个更一般结果的例子。 另一方面，整数 A 和 B 的最大公约数可以表示为 A 和 B 的整数系数线性组合这一事实——GCD(a, b) = ma + nb，对于某些整数 m 和 n——是一个更深的事实，它只适用于更受限制的情况。
术语的大多数变体都在术语定义的地方进行讨论。 这里需要指出一个令人讨厌的术语问题：“范畴”对应的形容词是“范畴的”。 由于逻辑中的“范畴的”意味着只有一个模型直到同构，这会导致认知失调； 无论如何，本书中“范畴的”的使用与只有一个模型的概念无关。
一些作者使用“categorial”来代替。 不幸的是，这在语言学中意味着其他东西。 本书遵循大多数用法，使用“范畴的”。