拓扑/完备性

完备性 及相关概念本质上假设了“距离”的概念。因此，在本章中，我们只处理度量空间。

定义

一个序列 $\{x_{n}\}$ 被称为柯西序列，如果对于任意 $\varepsilon >0$ ，存在一个 $N\in \mathbb {N}$ 使得对于任意 $a,b>N$ ， $d(x_{a},x_{b})<\varepsilon$ 。

定理

所有收敛序列都是柯西序列

证明

一个收敛序列 $\{x_{n}\}$ 将收敛到一个极限 $x$ ，这意味着存在一个 $N$ 使得对于任意 $a>N$ ， $d(x_{a},x)<{\tfrac {\varepsilon }{2}}$ 。因此，对于任意 $a,b>N$ ， $d(x_{a},x_{b})\leq d(x_{a},x)+d(x_{b},x)<\varepsilon$ 。

定义

如果一个度量空间中所有柯西序列都收敛于一个极限，那么称该度量空间为完备的。

度量空间 $X$ 的子集 $A$ 在开集 $O$ 中是稠密的，当 $O\subseteq \mathrm {Cl} (A)$ 。

度量空间 $X$ 的子集 $A$ 是处处稠密的，当它在 $X$ 中是稠密的。

度量空间 $X$ 的子集 $A$ 是无处稠密的，当它在 $X$ 中的任何开集中都不稠密。

完备性显然不是一个拓扑性质，因为空间 $\mathbb {R}$ 和 $(0,1)$ 之间存在同胚，虽然 $\mathbb {R}$ 是完备的，而 $(0,1)$ 是 $\mathbb {R}$ 的一个非闭子集，则不是。

定理

完备空间的闭子集本身也是完备的。

证明

考虑一个完备空间 $X$ ，令 $C\subset X$ 是闭集。考虑 $C$ 内的任何柯西序列，它也在 $X$ 内，因此它有一个极限。这个极限是该序列的一个接触点，因此也是 $C$ 的一个接触点，因此也在 $C$ 内。因此， $C$ 是完备的。

对于从度量空间到完备度量空间的函数，有一个非常重要的定理叫做 **一致收敛定理**。

定理（一致收敛定理））

令 X 为度量空间，令 $f_{n}$ 为从 X 到完备度量空间 Y 的连续函数序列，使得对于所有 $\epsilon >0$ ，存在一个 N 使得对于所有 $n_{1},n_{2}$ >N， $d(f_{n_{1}}(x),f_{n_{2}}(x))<\epsilon$ 。那么函数序列收敛于从 X 到 Y 的连续函数。注意 $\epsilon$ 必须独立于 x。

证明

显然函数序列逐点收敛，因为序列 $f_{n}(x)$ 显然是一个柯西序列，它收敛于一个值 $f(x)$ 。现在我们将证明 f(x) 是连续的。

存在一个 N，使得对于所有 n>N， $d(f_{n}(x),f(x))<{\frac {\epsilon }{3}}$ 对于 X 中的任意 x 都成立。现在令 n>N，并考虑连续函数 $f_{n}$ 。由于它是连续的，因此存在一个开球 $B_{\delta }(x)$ 在 X 中，使得它的像包含在开球 $B_{\frac {\epsilon }{3}}(f_{n}(x))$ 中。

现在考虑任意一个围绕 f(x) 的开球 $B_{\epsilon }(f(x))$ ，以及开球 $B_{\delta }(x)$ 中的任意点 x'。然后 $d(f(x'),f(x))\leq d(f(x'),f_{n}(x'))+d(f_{n}(x'),f_{n}(x))+d(f_{n}(x),f(x))<\epsilon$ ，所以函数 f(x) 是连续的。

Tietze 扩张

利用 Urysohn 引理和一致收敛定理，我们现在可以证明以下结果

定理：令 X 为一个正规拓扑空间，并令 A 为一个闭子集。令 f 为从子空间 A 到区间 [0,1] 的连续函数。那么存在一个从 X 到区间 [0,1] 的连续函数 g，使得对于 A 中的所有点，f(x)=g(x) 都成立。

证明

为了证明这一点，我们首先建立以下结果

对于从 X 的闭子集 A 到区间 [-r,r] 的任何连续函数，存在一个从 X 到区间 $[-{\frac {r}{3}},{\frac {r}{3}}]$ 的连续函数，使得 |f(x)-g(x)|< ${\frac {2}{3}}r$ 对于所有 $x\in A$ 都成立。

Consider the sets $f^{-1}([-r,-{\frac {1}{3}}r])$ and $f^{-1}([{\frac {1}{3}}r],r)$ , which are disjoint sets which, since they are closed in the closed set A, are also closed in X. Now we use Urysohn's lemma to obtain a function $g:X\rightarrow [0,1]$ such that g(x)=0 when $x\in f^{-1}([-r,-{\frac {1}{3}}r])$ and such that g(x)=1 when $x\in f^{-1}([{\frac {1}{3}}r],r)$ . Then consider the function h defined by $h(x)={\frac {r}{3}}(2g(x)-1)$ from the set X to the interval $[-{\frac {r}{3}},{\frac {r}{3}}]$ so that $h(x)=-{\frac {r}{3}}$ when $x\in f^{-1}([-r,-{\frac {1}{3}}r])$ and such that $h(x)={\frac {r}{3}}$ when $x\in f^{-1}([{\frac {1}{3}}r],r)$ . Then to see that the function h satisfies the inequality |f(x)-h(x)|< ${\frac {2}{3}}r$ , consider the case when $-r\leq x\leq -{\frac {1}{3}}r$ . Then $h(x)=-{\frac {r}{3}}$ so the inequality is satisfied there. Then consider the case when ${\frac {1}{3}}r\leq x\leq r$ . Then $h(x)={\frac {r}{3}}$ so the inequality is also satisfied there. Finally, consider the case when $-{\frac {1}{3}}r<x<{\frac {1}{3}}r$ . Then $|h(x)|\leq {\frac {1}{3}}r$ so the inequality is also satisfied for this final case.

现在我们证明主要结果。

定理（康托尔交集定理）

度量空间 $X$ 的紧子集序列 $\{A_{n}\}$ 的交集非空，当且仅当度量空间是完备的。

证明

( $\Rightarrow$ )令 $\{x_{n}\}$ 是 $X$ 中的柯西序列。定义序列 $\{a_{n}\}$ , $s_{n}$ 为 $a_{n}=d(x_{n+1},x_{n})$ ， $s_{n}=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{n}$ 。由于 $s_{n}$ 是一个实值柯西序列，因此它是收敛的。因此，我们可以看到 $\{x_{n}\}$ 是有界的。因此，我们可以构造一系列紧集 $\{A_{n}\}$ 满足 $A_{n}\subseteq A_{n-1}$ ，使得对于每个 $n$ ， $x_{n}\in A_{n}$ 但 $x_{n}\notin A_{n+1}$ 。如果 $x\in \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{n}$ ，则序列 $x_{n}$ 收敛于 $x$ ，这意味着 $X$ 是完备的。

( $\Leftarrow$ )令 $A_{n}$ 为满足 $A_{n}\subseteq A_{n-1}\forall n$ 的紧集序列。选择一个序列 $\{x_{n}\}$ ，其中 $x_{n}\in A_{n}$ 。由于 $\{x_{n}\}$ 有界，因此它有一个收敛子序列 $\{y_{n}\}$ ，其极限为 $x$ 。
由于 $A_{n}\subseteq A_{n-1}$ ，我们有 $x\in \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{n}$ 。

定理（嵌套球定理）

嵌套区间定理与康托尔交集定理非常相似。它指出，当满足 $A_{n}\subseteq A_{n-1}$ 且其半径序列 $r_{n}$ 趋近于 $0$ 时，球的闭包序列的交集非空当且仅当度量空间完备。

贝叶斯范畴定理是广义拓扑学和泛函分析中的一个重要工具，它为度量空间完备提供了充要条件。注意，这通常被称为贝叶斯定理的第一形式。

定理（贝叶斯范畴定理）

一个完备度量空间不是可数个无处稠密子集的并集。

证明

Let $A=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i}$ be a complete metric space where each $K_{i}$ is nowhere dense. Let $S_{1}$ be an open ball of radius ${\tfrac {1}{2}}$ . Let $S_{n}$ , where $n>1$ be an open ball of radius ${\tfrac {1}{2^{n}}}$ contained in $S_{n-1}$ which does not meet $A_{n}$ , which is possible because if it always met $A_{n}$ , then $A_{1}$ would be dense in $S_{n-1}$ . The centers $c_{n}$ of the spheres $S_{n}$ form a Cauchy sequence because when $n_{1},n_{2}>N$ and, then $d(x_{n_{1}},x_{n_{2}})<{\tfrac {1}{2^{N}}}$ . Therefore, because the space $A$ is complete, it converges to a limit $c$ within $A$ . However, it is not within any $K_{n}$ , and so it is not within $A$ , a contradiction.

定理（广义海涅-博雷尔定理）

一个度量空间是紧凑的当且仅当该度量空间完备且完全有界。

证明

( $\Rightarrow$ )
设 X 是一个紧致度量空间。那么它是有界紧致的，因此是完全有界的。此外，由于它是可数紧致的，任何柯西序列要么是有限的，在这种情况下，它显然收敛到 X 中的一个元素，因为该序列最终稳定，要么是无限的，在这种情况下，它在 X 中有一个极限点，很明显柯西序列收敛到该极限点。
( $\Leftarrow$ )
令 { $a_{n}$ } 是 X 中点的无限序列，使得它们形成一个无限集（即至少有无限多个是不同的）。现在考虑一个有限的 1-网，并考虑每个点在 1-网中的球体的闭包，每个球体的半径为 1。这些球体闭包的并集是 X。由于有无限多个不同的 { $a_{n}$ }，而只有有限多个球体闭包，因此至少一个球体闭包必须包含一个无限子序列 { $a_{n1}$ }，并将此表示为 $Cl(B_{1}(x_{1}))$ 。现在考虑在这个球体闭包内的一个有限的 ${\frac {1}{2}}$ -网，并考虑每个点在 ${\frac {1}{2}}$ -网中的球体的闭包，每个球体的半径为 ${\frac {1}{2}}$ 。这些球体闭包的并集是第一个球体的闭包。由于有无限多个不同的 { $a_{n1}$ } 在 $Cl(B_{1}(x_{1}))$ 中，而只有有限多个球体闭包，因此至少一个与 $Cl(B_{1}(x_{1}))$ 相交的球体闭包必须包含一个无限子序列 { $a_{n2}$ }。继续这个过程，得到一个包含序列中无限多个元素的新球体闭包，并且由于完备性，我们可以使用嵌套球体定理得到一个位于所有球体交集中的元素 x。这个 x 是所有球体的极限点，因此也必须是原始序列 { $a_{n}$ } 的极限点，因为 x 的任何邻域都必须包含上述序列中某个球体的闭包，而该闭包又包含序列 { $a_{n}$ } 的无限多个元素。由此我们可以得出结论，X 是可数紧致的，因此是紧致的。

推论（博尔扎诺-魏尔斯特拉斯定理）

在完备度量空间 X 中，集合 S 是相对紧致的，当且仅当它是完全有界的。这是因为它的闭包显然是完全有界的，并且完备度量空间的任何闭子集也是完备的。

注意：如果 $X$ 是一个完备的度量空间，那么每个完全有界的序列 $\{a_{n}\}\subset X$ 都具有一个收敛的子序列。这是因为该序列将是相对紧的，并且由于它的闭包是紧的，因此是可数紧的，因此具有一个极限点，因此该序列将具有一个极限点 x。对于这个极限点，考虑球体 $B_{\frac {1}{n}}(x)$ ，然后对于每个球体，在球体内选择序列中的一个点，使其处于有序状态（即，以不“向后”的方式在序列中前进）。然后，这显然是一个收敛到极限点的子序列。

定理（阿塞拉-阿斯科利定理）

现在我们已经得到了一个结果，它证明了在完备度量空间中相对紧致和完全有界之间的等价性，我们现在转向如何在闭区间 [a,b] 中的连续函数的度量空间中建立相对紧致性。首先，我们有以下定义。

定义

在 [a,b] 上定义的一组函数 F 被称为一致有界，如果存在一个 M，使得对于 F 中的任何函数 f，f(x)<M 对 [a,b] 中的所有 x 都成立。
在 [a,b] 上定义的一组函数 F 被称为等度连续，如果对于所有 $\epsilon >0$ ，存在一个 $\delta >0$ ，使得对于所有 $x_{1},x_{2}\in [a,b]$ 以及对于所有 $f\in F$ ， $|x_{1}+x_{2}|<\delta \rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\epsilon$ .

现在，以下是定理的陈述
在 [a,b] 上定义的一组连续函数 F 是相对紧的，当且仅当它是等度连续的并且一致有界的。

证明

练习

证明欧几里得空间 $\mathbb {R} ^{n}$ 是完备的。
证明希尔伯特空间是完备的。
明确地建立嵌套球体定理。