拓扑/连续性与同胚

连续性

连续性是拓扑学的核心概念。本质上，拓扑空间具有允许定义连续性的最小必要结构。几乎任何其他语境中的连续性都可以通过适当的拓扑选择简化为这个定义。

定义

令 $X,Y$ 是拓扑空间。

一个函数 $f:X\to Y$ 在 $x\in X$ 处连续当且仅当对于 $f(x)$ 的所有开邻域 $B$，都存在 $x$ 的一个邻域 $A$，使得 $A\subseteq f^{-1}(B)$。
一个函数 $f:X\to Y$ 在一个集合 $S$ 中连续当且仅当它在 $S$ 中的所有点处连续。

函数 $f:X\to Y$ 被称为在 $X$ 上连续当且仅当它在其定义域的所有点处连续。

$f:X\to Y$ 连续当且仅当对于所有在 $Y$ 中的开集 $B$，它的逆像 $f^{-1}(B)$ 也是一个开集。
证明
($\Rightarrow$)
函数 $f:X\to Y$ 是连续的。令 $B$ 是 $Y$ 中的一个开集。因为它是连续的，所以对于所有 $x$ 属于 $f^{-1}(B)$，存在一个邻域 $x\in A\subseteq f^{-1}(B)$，因为 B 是 f(x) 的一个开邻域。这意味着 $f^{-1}(B)$ 是开的。
($\Leftarrow$)
对于函数 $f$ 在 $Y$ 中的任何开集的逆像在 $X$ 中也是开的。令 $x$ 是 $X$ 中的任意元素。则 $f(x)$ 的任何邻域 $B$ 的逆像 $f^{-1}(B)$ 也会是开的。因此，存在一个 $x$ 的开邻域 $A$ 包含于 $f^{-1}(B)$。因此，该函数是连续的。

如果两个函数是连续的，那么它们的复合函数也是连续的。这是因为如果 $f$ 和 $g$ 的反函数将开集映射到开集，那么反函数 $g^{-1}(f^{-1}(x))$ 也将开集映射到开集。

例子

• 设 $X$ 具有离散拓扑。那么对于 $Y$ 上的任何拓扑，映射 $f:X\rightarrow Y$ 是连续的。
• 设 $X$ 具有平凡拓扑。那么对于 $Y$ 上的任何拓扑，常数映射 $g:X\rightarrow Y$ 是连续的。

同胚

当两个拓扑空间之间存在同胚时，从拓扑学的角度来说，它们是“本质上相同的”。

定义

设 $X,Y$ 是拓扑空间
一个函数 $f:X\to Y$ 被称为同胚当且仅当

(i) $f$ 是双射
(ii) $f$ 在 $X$ 上是连续的
(iii)$f^{-1}$ 在 $Y$ 上是连续的

如果两个空间之间存在同胚，那么这两个空间被称为同胚

如果一个空间 $X$ 的性质适用于所有与 $X$ 同胚的空间，则称该性质为拓扑性质。

说明

1. 一个映射可以是双射且连续的，但不是同胚映射。考虑双射映射 $f:[0,1)\rightarrow S^{1}$，其中 $f(x)=e^{2\pi ix}$ 将域中的点映射到平面上的单位圆。这不是同胚映射，因为在域中存在不是在 $S^{1}$ 中开放的开放集，例如集合 $\left[0,{\frac {1}{2}}\right)$。
   
2. 同胚是等价关系

练习

1. 证明开区间 $(a,b)$ 与 $\mathbb {R}$ 同胚。
2. 证明同胚在拓扑空间上是等价关系。
3. (i)构造一个双射 $f:[0,1]\to [0,1]^{2}$
   (ii)确定该 $f$ 是否是同胚映射。