拓扑/精确序列

精确序列是代数拓扑中用来从链群序列中提取信息的工具。

定义

给定一组群序列$G_{1},G_{2},\dots ,G_{n}$ 和同态

$G_{1}{\xrightarrow {h_{1}}}G_{2}{\xrightarrow {h_{2}}}\cdots {\xrightarrow {h_{n-1}}}G_{n}$

是一个精确序列，如果 $im(h_{k})=ker(h_{k+1})$ 对于所有 $1\leq k<n$，序列可以是无限的。

给定一个链群的精确序列，用这个索引

$\cdots {\xrightarrow {\partial _{2}}}C_{2}{\xrightarrow {\partial _{1}}}C_{1}{\xrightarrow {\partial _{0}}}C_{0}$

我们有一个链复形。

短精确序列

给定一个特殊情况，我们有 3 个群，有以下同态

$G_{1}{\xrightarrow {h_{1}}}G_{2}{\xrightarrow {h_{2}}}G_{3}$

其中 $h_{1}$ 是一个一对一同态，而 $h_{2}$ 是一个满射同态，我们有一个短精确序列。短精确序列具有性质 $G_{3}\cong G_{2}/h_{1}(G_{1})$.

练习

(正在建设中)