拓扑/同伦

代数拓扑是拓扑学的一个分支，它使用代数方法来解决拓扑问题。 首先，让我们回顾拓扑学的根本问题；给定拓扑空间 $X$ 和 $Y$，要确定它们是否同胚。 回想一下，两个空间同胚当且仅当它们之间存在一个同胚，即一个开连续双射。 因此，要得出两个空间不同胚的结论，我们需要遍历它们之间的每一个连续映射，并检查它是否不是同胚！ 一般来说，这是不可能的。 因此我们需要方法来处理这个问题。 代数拓扑通过为拓扑空间分配所谓的代数不变量，在一定程度上取得了进展，使得同胚空间具有同构的不变量。 相反，这意味着如果两个空间具有不同的代数不变量，那么它们就不能是同胚的！ 检查两个代数结构是否同构，一般来说比原始的同胚问题容易得多，所以这是一个巨大的进步。

多年来，人们开发了许多不同的代数不变量。 每当人们设计或实现一个不变量时，重要的是在可计算性和完备性之间取得良好的平衡。 我们需要能够计算不变量，并且它必须足够“精细”以区分我们想要检查的属性。 可计算性和不可计算信息之间存在一条细线！ 一个取得良好平衡的不变量是空间的同伦群，所以我们将从这里开始。 同伦群是一个无限序列 $\pi _{0}(X),\pi _{1}(X),\pi _{2}(X),...$ 分配给空间 $X$ 的群。 在本章中，我们只关注前两个群，即 $\pi _{0}(X)$ 和 $\pi _{1}(X)$，因为它们是最容易计算的。 我们过一会儿会回到序列的其余部分。

路径和环路

我们之前在路径连通性和局部路径连通性的概念中已经接触过路径的概念。 在这里，我们将再次回顾它们，然后定义一些新术语。

路径

定义： 我们用 $I$ 表示单位区间 $[0,1]$，它配备了关于 $\mathbb {R}$ 的子空间拓扑。

定义：从$x$到$y$在空间$X$中的路径是一个从$I$到$X$的连续函数，使得$f(0)=x$，并且使得$f(1)=y$。

循环

定义：令$X$是一个拓扑空间，并且$a\in X$。如果$\alpha$是a到a的路径，那么我们就说$\alpha$是具有基点$a$的循环。

定义

令X和Y是拓扑空间，并且令f(x)和g(x)是从X到Y的连续函数。f和g之间的同伦是一个从集合X×[0,1]到Y的连续函数h(x,r)，使得h(x,0)=f(x)，并且使得h(x,1)=g(x)。

直观地说，我们可以将两个函数之间的同伦看作是这两个函数之间的一种连续映射。

我们可以很容易地验证同伦是路径和循环上的等价关系。

路径同伦
当我们考虑通过固定起点和终点$x_{0}$和$x_{1}$的路径的同伦时，我们定义两条路径是同伦的。附加条件是

• $h(0,t)=x_{0}$对于任何$t\in I$
• $h(1,t)=x_{1}$对于任何$t\in I$

循环同伦
循环同伦是所考虑的路径是循环的特殊情况，这意味着它们具有相同的起点和终点。

注意：如果$X=\mathbb {R} ^{n}$，那么所有具有基点$a$的循环都是同伦的。我们只需要取

$F(t,s)=(1-s)\alpha (t)+s\beta (t).$

同样的论证也适用于任何凸集。

• 定理：路径同伦是路径的等价关系。

用 $[f]$ 表示路径 $f$ 的路径同伦等价类。

基本群胚

如果 $f$ 是从 $x_{0}$ 到 $x_{1}$ 的路径，而 g 是从 $x_{1}$ 到 $x_{2}$ 的路径，则定义 $f\star g$ 为从 $x_{0}$ 到 $x_{2}$ 的路径，如下所示

$f\star g(t)={\begin{cases}f(2t){\text{ for }}t\in [0,{\frac {1}{2}}]\\g(2t-1){\text{ for }}t\in [{\frac {1}{2}},1]\end{cases}}$