拓扑/形变收缩

定义

收缩是一个到X的子空间A的连续函数

1. $r:X\to A$

使得存在嵌入

2. $\iota :A\hookrightarrow X$

满足$r\circ \iota =id_{A}$.

这种结构的目的是缩小空间中一些拓扑无关的波动，或以其他方式简化以帮助找到基本属性。

形变收缩是一个更强的性质，其中存在一个同伦，它将恒等式变为收缩。

例如，有一个从开端圆柱体到圆的形变收缩，尽管它们不是同胚。一些拓扑性质在这种情况下得以保留，并且它们在代数拓扑中是有意义的。

示例

圆盘有一个到点的形变收缩，其中$r$将所有内容映射到该点，嵌入$\iota$仅修复该点。任何形变收缩到点的空间都称为可缩的。

正如刚刚提到的，$S^{1}$是$[0,1]\times S^{1}$的形变收缩。请注意，这是一个单向语句，因为$[0,1]\times S^{1}\not \subset S^{1}$。更一般地，我们可以说我们可以“除掉”笛卡尔积中可缩的项。所以单位n-立方体总是可缩的。

练习

1. 明确地找到从单位n-立方体到点的形变收缩。

2. 尽管形变收缩不是自反的，但证明它们是传递的。