拓扑/诱导同态

诱导同态与基本群的研究有关。我们将给出一些定理和注释，但首先我们做一个定义。

定义

设 X 和 Y 是拓扑空间；设 x₀ 是 X 中的一个点，设 y₀ 是 Y 中的一个点。假设 h 是从 X 到 Y 的连续映射，使得 h(x₀) = y₀。定义一个从 π₁(X,x₀) 到 π₂(Y,y₀) 的映射 h*，方法是将 π₁(X,x₀) 中的循环与 h 合成以获得 π₁(Y,y₀) 中的循环。那么 h* 是基本群之间的同态，称为由 h 诱导的同态。

注 1

让我们检查一下，如果 f 是 π₁(X,x₀) 中的循环，那么 h*(f) 是 π₁(Y,y₀) 中的循环。注意 h*(f) 是从 [a,b] 到 Y 的连续映射（我们将假设 [a,b] = [0,1]，与一般情况没有区别，因为这两个集合是同胚的），并且 h*(f(0)) = h*(x₀) = y0 以及 h*(f(1)) = h*(x₀) = y₀。

注 2

我们将检查 h 确实是同态。为了避免重复，每当我们称 f 和 g 为循环时，它们将被认为是以 x₀ 为基点的循环。假设 f 和 g 是两个循环。那么 [0 是 π₁(X,x₀) 上的群运算，+ 是 π₁(Y,y₀) 上的群运算]

h*(f 0 g) = h*(f(2t)) 当 t 在 [0,1/2] 中 = (h*(f)) + (h*(g))

h*(f 0 g) = h*(g(2t-1)) 当 t 在 [1/2,1] 中 = (h*(f)) + (h*(g))

因此 h* 确实是同态。

注 3

检查 h* 是函数（即 π₁(X,x₀) 中的每个循环都被映射到 π₁(Y,y₀) 中的唯一循环）源于这样一个事实：如果 f 和 g 是 π₁(X,x0) 中的循环，通过同伦 H 同伦，那么 h*(f) 和 h*(g) 通过同伦 h*H 同伦。

注 4

注意，除非 h 是连续的，否则上面所有注释都不会成立，这就是为什么它在假设中是必需的。我们留给您去弄清楚为什么 h(x₀) = y₀ [这相当简单]。

我们现在证明一个重要的定理，它可以用来检查两个拓扑空间是否同胚。事实上，这个定理说明了为什么代数拓扑最初被发明。

定理

假设 X 和 Y 是两个同胚拓扑空间。如果 h 是从 X 到 Y 的同胚，那么诱导同态 h* 是基本群之间的同构 [假设我们正在考虑基本群 π₁(X,x₀) 和 π₁(Y,y₀) 并且 h(x₀) = y₀]

证明

我们已经在注 2 中检查过 h* 是同态。现在我们只需检查 h* 是否双射即可。假设 p 是 h 的逆；那么 p* 是 h* 的逆。这是因为 (p(h))*(f) = p*(h*(f)) = f = (h(p))*(f) = h*(p*(f))。如果 f 和 g 是 X 中的两个循环，其中 f 与 g 不同伦，那么 h*(f) 与 h*(g) 不同伦；如果 F 是它们之间的同伦，那么 p*(F) 将是 f 和 g 之间的同伦。如果 k 是 π₁(Y,y₀) 中的任何循环，那么 h*(p*(k)) = k，其中 p*(k) 是 X 中的循环。这表明 h* 是双射的。

注意：检查我们是否使用了 h 满足的所有属性，这是一个很好的练习，即我们完全使用了这样一个事实，即 h 是同胚。

定理的应用

1. 环面与 R^2 不同胚，因为它们的基本群不同构（它们的基本群没有相同的基数）。注意，一个单连通空间不可能与一个非单连通空间同胚；一个具有平凡基本群，而另一个则没有。

2. 事实上，任何两个拓扑空间都具有同态的基本群（在特定基点处）。请参见注 2，我们可以在其中让 h* 是由常数映射诱导的同态。但是，它们不一定具有同构的基本群（在特定基点处）。这一点很有趣，因为它表明任何两个拓扑空间的基本群始终具有相同的“群结构”。

3. 单位圆的基本群同构于整数的加法群。因此，[0,1] 的基本群同构于整数集，因为 [0,1] 和单位圆同胚（为什么这个说法是错误的？）。R 的单点紧化也具有同构于整数集的基本群（因为 R 的单点紧化同胚于单位圆）。

4. 定理的逆命题不一定成立。例如，R^2 和 R^3 具有同构的基本群，但仍然不同胚。它们的基本群是同构的，因为每个空间都是单连通的。但是，这两个空间不可能是同胚的，因为从 R^2 中删除一个点会留下一个非单连通空间，而从 R^3 中删除一个点会留下一个单连通空间（如果我们删除 R^3 中的一条直线，该空间将不再是单连通的。事实上，这可以推广到 R^n，其中从 R^n 中删除一个 (n-2) 维平行六面体会留下一个非单连通空间）。