拓扑/单纯复形

单纯复形是由称为单纯形的空间的并集，这些空间是点在一般位置上的凸包。 在欧几里得空间中，它们可以被认为是三角形的推广。 在前几个维度中，它们是：点、线段、三角形和四面体。

单纯形的定义

给定 n+1 个点 $\{a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}\}$，在一个至少 n 维的空间中，使得没有三个点共线，该集合

${\mathcal {S}}=\{t_{0}a_{0}+t_{1}a_{1}+\dots +t_{n}a_{n}:\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1{\text{ with }}t_{i}\in [0,1]\}$

是一个单纯形，更具体地说，它是一个 n-单纯形，因为它有 n+1 个顶点。

标准 n-单纯形

为了方便起见，我们有时需要一个标准化单纯形的坐标系。 标准 n-单纯形，它是欧几里得 (n+1)-空间 $\mathbb {R} ^{n+1}$ 的一个子集，是

$\Delta _{n}=\{(t_{0},t_{1},\dots ,t_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}:t_{i}\geq 0{\text{ and }}\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1\}$

请注意，该集合以非常类似的方式表示，但坐标在 $\mathbb {R} ^{n+1}$ 中是固定的。

R³ 中标准 n-单纯形 (n=2) 的图

单纯形的侧面

n-单纯形 ${\mathcal {S}}$ 的侧面是由 ${\mathcal {S}}$ 的顶点的 n-1 元素子集形成的任何 (n-1)-单纯形。

单纯复形的定义

单纯复形是单纯形的并集，使得任何两个单纯形的交集都是单纯形。 或者，如果 ${\mathcal {C}}$ 是一个单纯复形，那么

1. ${\mathcal {C}}$ 中每个单纯形的任何一个面都是 ${\mathcal {C}}$ 中的一个单纯形。

2. 两个单纯形 $A,B\in {\mathcal {C}}$ 的交集是 A 和 B 的一个公共面。

示例

平面上多边形的三角剖分是一个单纯复形。事实上，它暗示了对于所有多胞形都存在单纯复形，例如，每个多面体都可以表示为四面体以完整面与完整面交汇的方式组合在一起。

练习

(正在建设中)