拓扑/线性连续统
一个有序集，S，被称为线性连续统，如果它满足以下性质
a) S 具有最小上界性质
b) 对于 S 中的每个 x 和 S 中的每个 y，当 x < y 时，存在 S 中的 z 使得 x < z < y
如果一个集合的任何非空子集，如果有上界，就存在最小上界，那么这个集合就具有最小上界性质。线性连续统在拓扑学领域特别重要，它可以用来验证给定序拓扑的有序集是否连通。
1. 实数的有序集，R，在其通常顺序下是一个线性连续统。性质 b) 是平凡的，而性质 a) 仅仅是对完备性公理的重新表述。
2. 有理数集不是线性连续统。尽管性质 b) 满足，但性质 a) 不满足。考虑子集
- A = { x | x < √2 }
在有理数集中。尽管这个集合被大于 √2 的任何有理数（例如 3）所上界，但它没有最小上界。
3. 非负整数集及其通常顺序不是线性连续统。性质 a) 满足（设 A 是非负整数集的一个上界子集。那么 A 是有限的，因此它有一个最大值。这个最大值就是 A 的所需最小上界）。另一方面，性质 b) 不满足。实际上，5 是一个非负整数，6 也是，但不存在严格介于它们之间的非负整数。
4. 非零实数的有序集 A
- A = (-∞, 0) U (0, +∞)
不是线性连续统。性质 b) 是平凡满足的。然而，如果 B 是负实数集
- B = (-∞, 0)
那么 B 是 A 的一个子集，它有上界（被任何大于 0 的 A 中的元素所上界；例如 1），但在 A 中没有最小上界。注意，0 不是 B 的界，因为 0 不是元素 of A.
5. 令 Z- 表示负整数集，令 A = (0,5) ∪ (5,+∞)。令
- S = Z- U A
那么 S 既不满足性质 a) 也不满足性质 b)。证明类似于示例 3 和 4。
6. 在字典序中，I × I （其中 × 表示笛卡尔积，I = [0, 1]）是一个线性连续统。性质 b) 是平凡的。为了检查性质 a)，我们定义了一个映射，π1 : I × I -> I，由
- π1 (x, y) = x
这个映射被称为投影映射。投影映射是连续的（关于 I × I 上的乘积拓扑），并且是满射的。设 A 是 I × I 的一个非空子集，它有上界。考虑 π1(A)。由于 A 有上界，所以 π1(A) 也必须有上界。由于 π1(A) 是 I 的一个子集，因此它必须有最小上界（因为 I 具有最小上界性质）。因此，我们可以令 b 为 π1(A) 的最小上界。如果 b 属于 π1(A)，那么 b × I 将在 A 的某个点 b × c 与 A 相交，其中 c isin; I。我们只需选择满足该性质的最大 c，b × c 将是 A 的所需最小上界（注意：由于 b × I 具有相同的[I 的序型]，集合 (b × I) ∩ A 确实有最小上界）。如果 b 不属于 π1(A)，那么 b × 0 是 A 的最小上界。因为如果 d < b，并且 d × e 是 A 的最小上界，那么 d 将是 π1(A) 比 b 更小的上界，这与 b 的唯一性质相矛盾。
尽管线性连续统在有序集的研究中很重要，但它们在拓扑学的数学领域也有应用。事实上，我们将证明，一个在序拓扑下的有序集是连通的当且仅当它是一个线性连续统（注意“当且仅当”部分）。我们将证明一个蕴含，并将另一个作为练习留给读者。
定理
设 X 是一个在序拓扑下的有序集。如果 X 是连通的，那么 X 是一个线性连续统。
证明
假设，x 属于 X，y 属于 X，其中 x < y。如果不存在 X 中的 z 使得 x < z < y，则考虑集合
A = (-∞, y)
B = (x, +∞)
这些集合是不交的（如果 a 属于 A，则 a < y，因此如果 a 属于 B，则 a > x 且 a < y，这与假设矛盾），非空的（x 属于 A，y 属于 B），并且是开集（在序拓扑下），它们的并集是 X。这与 X 的连通性矛盾。
现在我们证明最小上界性质。如果 C 是 X 的一个上界子集，并且没有最小上界，设 D 是所有形式为 (b, +infinity) 的开射线的并集，其中 b 是 C 的上界。那么 D 是开集（因为它是一系列开集的并集），并且是闭集（如果 'a' 不属于 D，那么对于所有 C 的上界 b，a < b，因此我们可以选择 q > a，使得 q 属于 C（如果不存在这样的 q，则 a 是 C 的上界），那么包含 a 的一个开区间可以选择，它与 D 不相交）。由于 D 非空（D 有不止一个上界，因为如果只有一个上界 s，则 s 将是最小上界。然后，如果 b1 和 b2 是 D 的两个上界，且 b1 < b2，则 b2 将属于 D），D 及其补集一起在 X 上形成了一个分离。这与 X 的连通性矛盾。
1. 注意，由于有序集
A = (-∞, 0) U (0,+∞)
不是一个线性连续统，它是不连通的。
2. 通过应用刚刚证明的定理，可以得出 R 是连通的事实。实际上，R 中的任何区间（或射线）也是连通的。
3. 注意整数集不是一个线性连续统，因此不能是连通的。
4. 事实上，如果一个在序拓扑下的有序集是一个线性连续统，那么它必须是连通的。由于该集合中的任何区间也是一个线性连续统，因此该空间是局部连通的，因为它有一个完全由连通集组成的基。
5. 有关作为线性连续统的拓扑空间的一个有趣示例，请参见长线（在维基百科中）。
1. a)* 证明如果 X 是一个线性连续统，那么 X 是连通的。
b) 给出一个满足线性连续统定义中的性质 b) 但不连通的集合的例子
2. a) 一个局部连通的，给定序拓扑的有序集是一个线性连续统吗？
b) a) 的逆命题成立吗？
3. 证明如果 Y 是一个良序集，那么 Y X [0,1) 是一个线性连续统。
4*. a) 任何给定序拓扑的路径连通有序集都是一个线性连续统，但任何线性连续统都一定是路径连通的吗？（提示：为什么不检查字典序拓扑？）
b) 读者可以参考下一节的练习 4 来了解这个问题的答案。但是，鼓励读者在解决问题之前不要去看下一节的练习 4。注意 4.a) 中使用 * 表示难度。您必须证明您的 4.a) 中的断言！
5.a) 判断一个满足 b) 的，给定序拓扑的有序集是否有有限多个连通分支。
b) 注意线性连续统中重要的性质 a) 在确定给定序拓扑的有序集的连通性方面至关重要。证明如果 X 是一个在序拓扑下仅满足线性连续统定义中的性质 b) 的有序集，那么 X 可以是完全不连通的。给出一个这样的有序集 X 的例子。
6. 以下结果是否正确
一个有序集 X 有序拓扑等于 X 上的离散拓扑，当且仅当 X 不满足线性连续统定义中的性质 b)。
如果不是，那么至少一个蕴含关系成立吗？如果是，哪一个成立？