拓扑/局部连通
一个拓扑空间被称为在x（其中x是该空间的点，被称为X）处局部连通，如果对于x的每个邻域V，都存在一个包含在V中的x的连通邻域U。如果一个空间在其所有点处都局部连通，我们称该空间为局部连通空间。令人惊讶的是，局部连通性和连通性是相互独立的性质；一个空间可以满足其中一个性质，而无需满足另一个性质（参见下面的示例）。
1. 如果一个空间具有完全由连通集合组成的基，那么它就是局部连通的（要看到这一点，设x为空间中的一个点。那么对于x的每个邻域V，都存在一个包含x的基元素B，该基元素是连通的并且包含在V中。那么B就是V中所期望的包含x的连通邻域）。
2. 从示例 1 中我们可以得出结论，实数集R是局部连通的并且是连通的（因为它是一个线性连续统）。
3. 有理数集Q既不是局部连通的，也不是连通的。R在下限拓扑中也是如此。事实上，一个完全不连通空间不可能是局部连通的，除非它具有离散拓扑。
4. 有限并集的区间是局部连通的。换句话说，R中的基本集合（参见测度理论）是局部连通的。特别是，集合
- A = (-1,0) ∪ (0,1)
是局部连通的，但不是连通的。
5. 拓扑学家正弦曲线（如果f(x) = sin (1/x)，那么拓扑学家正弦曲线就是(0,1]在f下的像的闭包），是一个连通空间的例子，它不是局部连通的。拓扑学家正弦曲线是连通的事实来自
- a) 集合S = f((0,1])是连通的，因为它是一个连通空间在连续映射下的像。
- b) 连通空间的闭包是连通的。
该空间在集合B = [闭包(S)] – S中的任何点处都不是局部连通的。不过，它在所有其他点处都是局部连通的。
一个拓扑空间X是局部路径连通的，如果对于每个点x，以及x的每个邻域V，都存在一个包含在V中的x的路径连通邻域U。与前面的例子类似，路径连通性和局部路径连通性是相互独立的性质。我们将给出一些其他的例子。
- 示例
1. 局部路径连通空间总是局部连通的。证明利用了每个路径连通空间都是连通的事实。
2. 一个路径连通空间不是局部路径连通的例子是梳状空间：如果K = {1/n |n 是一个自然数}，那么梳状空间定义为
- C = (K × [0,1]) ∪ ({0} × [0,1]) ∪ ([0,1] × {0}]
梳状空间是路径连通的（这很明显），但在集合A = {0} × (0,1]中的任何点处都不是局部路径连通的。然而，它在所有其他点处都是局部路径连通的。
一个拓扑空间在一个点处可以满足的一个更弱的性质被称为“弱局部连通”。
定义
设 X 是一个拓扑空间，x 是 X 中的一个点。如果对于 x 的每个邻域 V，都存在一个包含 x 的邻域 U 的 V 的连通子空间 A，则称该拓扑空间在 x 处是弱局部连通的。如果该空间在其所有点处都是弱局部连通的，则简单地称该空间为弱局部连通空间。
我们将给出一些例子，稍后将介绍关于这个概念的一个重要定理。
示例
1. 每个局部连通空间都是平凡地弱局部连通的（在定义中令 A = U）。
2. 注意，梳状空间和拓扑学家正弦曲线都不是弱局部连通的。很容易看出，这两个空间在它们不是局部连通的每个点处都不是弱局部连通的。
3. 一个完全不连通的空间不可能是弱局部连通的，除非它具有离散拓扑（换句话说，一个完全不连通的空间是弱局部连通的当且仅当它具有离散拓扑）。一个例子是 R 在下限拓扑中，它不具有离散拓扑，因此在任何点处都不可能是弱局部连通的。
4. 我们将在稍后证明，如果一个拓扑空间是弱局部连通的（即在每个点处都是弱局部连通的），那么它在每个点处都是局部连通的。然而，这个事实的证明需要另一个与局部连通性相关的概念，这将在下一节中讨论。
5. 之前的性质可能看起来很奇怪。如果每个弱局部连通空间都是局部连通的，那么为什么要称一个空间为“弱”局部连通？它似乎不是一个更弱的条件。然而，如果一个空间只在一个点处是弱局部连通的，那么它在该点处不一定局部连通。一个这样的空间的例子是扫帚空间。为了使该空间在该点处局部连通，它需要在该点的邻域中是弱局部连通的。因此，弱局部连通空间的定义确实有意义。
在一个拓扑空间X上定义一个等价关系 ~，以便我们声明 x~y，如果存在一个包含x和y的X的连通子空间A。所有等价类的集合被称为 X 的连通分支（这确实是一个等价关系，读者可以验证）。
定义另一个等价关系 ~2（与第一个不同）以使x~2y，如果从x到y存在一条路径。等效地，x~2y 当且仅当存在一个包含x和y的X的路径连通子空间。所有具有此等价关系的等价类的集合被称为该空间的路径连通分支（这确实是一个等价关系，读者可以验证）。
作为等价类，连通分支是拓扑空间X的不相交、非空子集，它们的并集是 X。路径连通分支也是如此。
- 性质
1. 直观地说，连通分支是X中最大的可能的连通子集，而路径连通分支是X中最大的可能的路径连通子集。
2. 组件始终是连通的（为了看到这一点，令C为一个组件（包含空间中某个点x的等价类）。那么C是非空的，因为x~x。对于C中的每个y，令Ay为包含y和x的X的连通子集（因为y~x）。取所有这些Ay的并集，其中y属于C。这个并集就是C。由于这是具有共同点x的连通空间的并集，因此这个并集是连通的。因此，C是连通的）。类似的论证表明路径连通分量始终是路径连通的，因此是连通的。
3. X的每个连通子集都位于X的一个组件中。这证明了性质1。为了看到这一点，令A为连通的（并且非空，否则证明是微不足道的），并且令x属于A。那么如果y属于A，则A是包含y和x的X的连通子集，因此y~x。由于y是任意的，因此我们已经证明A是包含x的组件的子集。类似的证明表明，X的每个路径连通子集都是X的路径连通分量的子集。
4. 组件始终是闭集。为了看到这一点，我们注意到，如果C是一个组件，那么C是连通的，因此C的闭包是连通的。现在，C始终是C的闭包的子集，因此足以验证C的闭包是C的子集。但我们知道C的闭包是连通的，并且X的每个连通子集恰好是单个组件的子集。因此，C = Closure(C) 并且C是闭集。这种证明对于路径连通分量不起作用，因为路径连通空间的闭包不一定路径连通（例如，拓扑学家正弦曲线）。
5. 如果只有有限多个组件，那么这些组件也是开集。如果C是一个组件，那么它的补集是组件的有限并集，因此是闭集。因此，C是开集。这种证明对于无限多个组件不起作用，因为有理数集就证明了这一点。
- 示例
1. 实数集恰好有一个组件；整个空间。事实上，每个连通空间只有一个组件。
2. 集合
- A = (-∞,0)∪(0,+∞)
恰好有两个组件；(-∞, 0) 和 (0, +∞)。请注意，这些是此空间中可能的最大连通子集。
3. 有理数集具有可数多个组件。每个单点集都是一个组件。事实上，对于任何完全不连通空间，单点集是该空间的组件。
4. 示例1、2和3中空间的路径连通分量与组件完全相同。但是，它们通常并不相同。一个例子是拓扑学家正弦曲线，它有一个组件（因为它连通），但有两个路径连通分量
- A = {0} × [-1,1]
- B = f((0,1]) 其中f是由f(x) = sin(1/x) 定义的函数
请注意，A是闭集；但不是开集。此外，B是开集；但不是闭集。这表明，即使组件始终是闭集，路径连通分量也不一定如此。
5. 通常，路径连通分量是组件的子集。为了看到这一点，我们注意到拓扑空间的路径连通分量是路径连通的，因此是连通的。由于X的连通子集位于X的一个组件中，因此结果成立。我们将在后面证明，如果X是局部路径连通的，那么路径连通分量和组件是相等的。
6. 在字典序拓扑中，集合I × I（其中I = [0,1]）恰好有一个组件（因为它连通），但具有不可数多个路径连通分量。事实上，对于每个属于I的a，形式为{a} × I的任何集合都是一个路径连通分量。
7. 令f是从R到Rℓ（R在下限拓扑中）的连续映射。由于R是连通的，并且连通空间在连续映射下的像是连通的，因此R在f下的像是连通的。因此，R在f下的像是Rℓ的某个组件的子集。由于这个像是非空的，因此从R到Rℓ的唯一连续映射是常值映射。
拟连通分量
[edit | edit source]拟连通分量的概念类似于组件的概念，我们只会简单地介绍一下。我们首先给出定义
定义
令X为拓扑空间。在X上定义一个等价关系，声明x~y，如果不存在将X分成集合A和B的分割，使得x是A的元素，而y是B的元素。
我们注意到，定义中给出的关系实际上是一个等价关系，读者可以很容易地进行检查。
性质
1. 组件始终包含在X的拟连通分量中。在证明这一点之前，我们将令x~1y，如果存在包含x和y的X的连通子集（这是定义组件时使用的等价关系），并且x~2y，如果x~y如本节中给出的定义。如果x~1y，那么存在包含x和y的X的连通子集C。如果存在将X分成集合A和B的分割，使得x是A的元素，而y是B的元素，那么C将与A和B都相交。这特别意味着‘C intersection A’和‘C intersection B’将在C上形成一个分割，这与C的连通性相矛盾。因此，我们必须有x~2y。
2. 从前面的性质，我们可以得出结论，空间的路径连通分量始终位于空间的拟连通分量中（因为路径连通分量始终位于组件中）。
示例
1. 连通空间只有一个拟连通分量；空间本身。这是由性质1得出的。
2. 在下一节中，我们将证明，如果X是局部连通拓扑空间，那么X的拟连通分量等于X的组件。
3. 如果X是局部路径连通的，那么它是局部连通的（如前所述），因此X的组件等于X的拟连通分量。由于如果X是局部路径连通的，那么X的组件和X的路径连通分量是相等的（我们将在下一节证明），因此如果X是局部路径连通空间，那么拟连通分量、路径连通分量和组件都是相等的。
4. 如果X是弱局部连通的（即，在它的每个点上都是弱局部连通的），那么性质2仍然成立。这是因为弱局部连通空间始终是局部连通的（我们将在稍后证明）。
定理
[edit | edit source]在本节中，我们将证明与本文内容相关的定理。
- 定理1
拓扑空间是局部连通的当且仅当开集的组件是开集。
- 证明
假设X是局部连通的（其中X是所讨论的拓扑空间）。令V为X中的开集，令C为V的一个组件。对于C中的每个x，选择一个包含在V中的x的连通邻域U（根据X的局部连通性）。由于U是连通的，因此U是C的子集。由此可见，C是开集的并集，因此是开集。
反之，假设拓扑空间X中的开集的组件是开集。令x属于X，令V为x的一个邻域。令C为包含x的V的一个组件。那么根据假设，C是开集。因此，C是包含在V中的X的连通邻域，因此X在x处是局部连通的。由于x是任意的，因此X是局部连通的。
- 定理2
如果拓扑空间中开集的路径连通分量是开集，那么该空间是局部路径连通的。
- 证明
证明类似于定理1，省略。
- 定理3
如果拓扑空间X是局部路径连通的，那么X的组件和路径连通分量是相等的。
- 证明
令P为包含x的X的路径连通分量，令C为包含x的X的组件。我们知道，根据上一节中的示例5，P是C的子集。假设P是C的真子集。由于X是开集，因此根据定理2，P在X中是开集。取所有那些与P不相交的X的路径连通分量的并集，并将它们与C相交；将所有结果集合的并集称为Q。那么，P和Q在C上形成了一个分割，因为它们是不相交的、非空的（P是非空的，因为x在P中；Q是非空的，因为我们假设P是X的真子集），并且在C中是开集的（Q根据定理2和子空间拓扑的定义在C中是开集的）。这与C的连通性相矛盾。
- 定理4
令X为局部路径连通空间。那么X的每个开集、连通子集都是路径连通的。
- 证明
令U为X的连通开子集，令x属于U。令A为U中所有可以通过路径连接到X的点的集合。则A是开的。如果y在A中，则存在一个包含y的U的路径连通子集V（根据空间的局部路径连通性）。然后我们断言V是A的子集。如果z在V中，则存在一条从z到y的路径。由于存在一条从x到y的路径（因为y属于A），我们可以将这些路径“粘贴”在一起，形成一条从x到z的路径。因此，z在A中。因此，V是A的子集，A是开的。现在，如果y在U−A中，则不存在从y到x的路径。如果V是y在U中的路径连通邻域，则V是U−A的子集。如果z在V中，并且存在一条从z到x的路径，那么由于已经存在一条从z到y的路径，所以存在一条从x到y的路径。这不可能，因为y在U−A中。因此，不存在从z到x的路径，z在U−A中。由此可知，V是U−A的子集，U−A是开的。我们已经知道A非空（x在A中）。如果U−A非空，那么A和U−A将构成U上的分离，这与U的连通性相矛盾。因此，U中的每个点都可以通过路径连接到x。由此可知，U是路径连通的。
定理 5
令 X 为弱局部连通空间。则 X 为局部连通的。
证明
根据定理 1，只需证明开集的连通分支是开的。令 U 为 X 中的开集，令 C 为 U 的一个连通分支。令 x 为 C 的一个元素。则 x 为 U 的一个元素，因此存在 X 的一个连通子空间 A，它包含于 U 并且包含 x 的邻域 V。由于 A 是连通的并且 A 包含 x，因此 A 必须是 C 的子集（包含 x 的连通分支）。因此，x 的邻域 V 是 C 的子集。由于 x 是任意的，我们已经证明 C 中的每个 x 都有一个包含于 C 的邻域 V。这表明 C 相对于 U 是开的。因此，X 是局部连通的。
定理 6
令 X 为拓扑空间。如果 X 是局部连通的，则 X 的拟连通分支等于 X 的连通分支。
证明
我们之前在拟连通分支部分提到过，空间的每个连通分支都包含于空间的一个拟连通分支中。如果空间是局部连通的，则只需证明拟连通分支始终位于连通分支中。根据定理 1，X 的连通分支是开的（因为 X 是局部连通的）。因此，如果 x~1y 不成立（x 在定义连通分支的等价关系下不等于 y），则包含 x 的连通分支既是开的又是闭的（连通分支始终是闭的；包含 x 的连通分支是开的，因为 X 是局部连通拓扑空间），因此存在 X 的一个分离，它将 X 分成集合 A 和 B，使得 A 包含 x 并且 B 包含 y（A 是包含 x 的连通分支，并且 B = X-A）。因此，x 在定义拟连通分支的等价关系下不可能等于 y。因此，我们已经证明，如果 y 不在包含 x 的连通分支中，则 y 不可能在包含 x 的拟连通分支中。根据初等集合论，这意味着如果 y 在包含 x 的拟连通分支中，则它必须在包含 x 的连通分支中。因此，X 的拟连通分支等于 X 的连通分支。
- 定理的一些应用
1. 根据定理 4，我们可以得出结论，R 的每个连通开子集都是路径连通的（因为 R 是局部路径连通的）。此外，R2 的每个连通开子集都是路径连通的。
2. 有理数 集合 Q 不是局部连通的，因为 Q 的连通分支在 Q 中不是开的（参见定理 1）。
3. R 的初等子集的连通分支和路径连通分支相同。此外，R 的初等子集是区间有限并集，因为每个初等子集都是局部路径连通的。
4. 在平面上取点 p = (0.5,0.5)。对于 R 中的每个有理数 x，令 Tx 表示连接 p 到 (x,0) 的线段。令 T 为所有此类 Tx 的并集。则 T 仅在 p 处是局部连通的。但是，它在任何其他点都不是局部连通的（如果 x 与 p 不同且属于 T，则选择 x 的一个邻域（在 R^2 中是开的），它与 p 不相交并且不与 x 轴相交。这个邻域与 T 的交集同胚于 R 中开区间的可数并集（我们留给您在同胚性习题中进行检查（参见下一节）），因此不可能是连通的。因此，比这个邻域更小的任何邻域都不可能连通）。因此，根据定理 5，T 不可能弱局部连通。
5. 参见无限扫帚（或扫帚空间）。这是一个空间的例子，该空间在特定点是弱局部连通的，但在该点不是局部连通的。读者可以参考 Wolfram MathWorld 获取扫帚空间的定义。另请参见本文中关于“弱局部连通空间”的部分。
练习
[edit | edit source]简单问题
1. 证明如果 X 是局部路径连通的，则 X 是局部连通的。
2. 证明 X 精确地具有一个连通分支当且仅当 X 是连通的。这个连通分支是什么？
3. 如果 f 是从拓扑空间 X 到拓扑空间 Y 的连续满射，如果 X 是局部连通的，则 Y 是否局部连通？为了使该语句为真，您可以施加哪些条件，即局部连通空间的连续像（如果您的答案是第一个问题的肯定答案，请忽略第二个问题；但是，如果您的答案是肯定的，则必须证明它）？
4. a) 证明字典序拓扑中的集合 I X I 是局部连通的（提示：I X I 拓扑上的基元同胚于 R 中哪个熟悉的连通子空间？）
b*) 找出该空间的路径连通分支（提示：首先通过获得矛盾并使用中间值定理（假设 [0,1] 是连通的）来证明该空间不是路径连通的）
c) 使用您对 b) 的答案来确定空间 I X I 是否是局部路径连通的。
5. 证明定理 2
普通问题
在这些问题中，我们将验证局部连通性是否在乘积和其他此类运算下保持不变。预计读者熟悉乘积拓扑。
6. a) 考虑集合 X = (-1,0) U (0,1)，它显然不是连通的。证明该集合是局部连通的。并找到该空间的连通分支（提示：在证明该空间是局部连通的时，假设 (0,1) 是连通的。然后构造从 (0,1) 到 (-1,0) 的同胚映射来证明 (-1,0) 是连通的）
b) 应用一个定理来证明该空间的路径连通分支等于该空间的连通分支。证明您做出的任何假设。
c) 令 E 为 R 的一个初等子集（该术语源于测度论，其中 E 被认为是 R 的一个初等子集，如果它是区间（不一定开）的有限并集，证明 E 是局部连通的，假设每个区间都是连通的。
7. 假设我们将 X 与自身进行有限次乘积。这个新的空间是局部连通的吗？（提示：使用连通空间的乘积始终是连通的这一事实）
8. 现在，如果我们使用乘积拓扑将 X 与自身进行无限次乘积，将这个新的空间称为 Y。我们将在问题 8 中检查 Y 是否是局部连通的。我们让读者在阅读问题 8 之前先思考一下。
参见问题 7，并在阅读问题 8 之前进行思考:
9. a) Y 上的乘积拓扑的基元是连通的吗？（提示：投影映射是连续的；因此连通空间的投影始终是连通的）
b) 可能 a) 给我们一个关于 Y 是否是局部连通的猜想。根据您对 a) 的答案，证明或反驳 Y 是局部连通的。（提示：如果您的答案是 a) 是肯定的，则找到一个点的至少一个连通邻域（请注意，点的邻域不一定是一个基元）。如果您的答案是 a) 是否定的，则从反证法开始
如果 x 是 Y 的一个点并且 V 是 x 的一个邻域，假设 U 是包含于 V 的 x 的一个连通邻域。然后 U 包含关于 X 的一个基元。请注意，投影映射是连续的，因此 U 在每个投影下的像应该是连通的。获得矛盾）
c) Y 是弱局部连通的吗？证明你的答案（提示：这个想法类似于 b) 部分）
研究问题
您将被要求根据您的知识制定假设:
10. 与拓扑空间的连通分支始终是闭的一样，您认为路径连通分支是否满足类似的性质？
我们将分析这个问题（现在参见问题 9，并在回答问题 10 之前进行思考）
11. a) 是否可以确定连通空间的路径连通分支（无需知道空间是什么）？是否可以确定路径连通空间的路径连通分支（无需知道空间是什么）？
b) 拓扑学家正弦曲线不是路径连通的。假设这一点确定它的路径连通分支并分析这些路径连通分支满足的性质（确定它们是闭的、开的还是两者都不是）。
c) 从 10.b) 中，您应该能够回答问题 9。作为我们将留给读者思考的问题
12. 拓扑空间的连通分支是否一定是局部连通的？
13. 拓扑空间的路径连通分支是否一定是局部路径连通的？（提示：这个问题比问题 7 稍微复杂一些；您可能需要构造自己的空间（R^2 的一个子空间））
14. a) 证明同胚映射保持路径连通性。
b) 推论拓扑学家正弦曲线和梳状空间不是同胚的。
以下问题是一个研究类型问题:
15*. 就像空间有组成部分一样，你能发明一个类似的等价关系来确定空间的“局部组成部分”吗？这些“局部组成部分”应该是空间中最大的局部连通子集。
示例类型问题
16. 给出一个例子，其中空间的路径连通分量和空间的连通分量不相等。再给出一个不同的例子，其中空间的路径连通分量和拟连通分量不相等。
17. 找一个局部连通但不是局部路径连通的空间的例子。
18*. 给出一个例子，其中空间的拟连通分量和空间的连通分量不相等。
19. 如果 X 与 Y 局部同胚且 X 局部连通，Y 一定是局部连通的吗？证明你的答案。
关于弱局部连通空间的问题
20. 提出一个新的概念，称为弱局部路径连通性，它使用与弱局部连通空间定义相同的思想。
a) 证明每个弱局部路径连通空间都是局部路径连通的
b) 给出一个弱局部路径连通空间的例子，它不是局部路径连通的（在某个特定点）。
21. 如定理 2 所示，用连通分量来刻画弱局部连通空间（提示：记住定理 5）
关于同胚的问题
22. 在“定理的应用”一节中，检查 4 的细节。
23. 证明如果 X 有“n”个连通分量，而 Y 与 X 同胚，则 Y 有“n”个连通分量。给出一个例子，其中 f 是从 X 到 Y 的连续满射，X 有“n”个连通分量，但 Y 没有。
24. a) 假设 p 是一个连续的闭满射，使得对于 Y 的每个元素 y，p^(-1) {y} 在 X 中是紧致的（p: X->Y）（不熟悉紧致性的读者可以参考维基百科）。证明如果 Y 是局部连通的，那么 X 也是。
b) 证明如果 Y 是连通的，那么 X 也是。
c) 如果 X 是局部连通的，Y 一定是局部连通的吗？
难题
25. 每个具有一个以上点的连通豪斯多夫空间是否都是不可数的（提示：每个具有一个以上点的连通度量空间都是不可数的；证明这个断言。看看当考虑豪斯多夫空间时，这个证明会遇到什么困难。记住度量空间总是第一可数的、正规的、仿紧的等等，而豪斯多夫空间则不然）？