拓扑/流形

球面的表面和二维平面，都存在于某个三维空间中，是人们通常所说的表面的例子。拓扑流形是对这种表面概念的推广。如果拓扑空间中的每个点都有一个邻域，该邻域同胚于$\mathbb {R} ^{n}$的开子集，对于某个非负整数$n$，那么这个空间是局部欧几里得的。这 формализует the idea that, while a surface might be unusually connected, patches of the surface can still resemble a euclidean space. 例如，克莱因瓶的表面无法在三维空间中浸入而不与自身相交，克莱因瓶的内部和外部之间没有区别，但它的小块区域仍然看起来像欧几里得空间。生活在克莱因瓶表面上的一个小生物可能不知道它是如何整体连接的，也不知道它是如何弯曲的，但它仍然可以制作其附近区域的矩形或正方形地图，并使用该地图来测量长度、方向等等。

拓扑流形是局部欧几里得的豪斯多夫空间。其他性质通常包含在拓扑空间的定义中，例如是第二可数的（具有可数的基），这包含在下面的定义中。拓扑流形是豪斯多夫的，排除了某些病态的例子，例如带两个原点的直线，它是通过用两个点替换实数轴的原点创建的。两个原点中的任何一个点的邻域都将包含零点周围某个开区间的全部点，因此将包含另一个原点，因此它们的邻域将始终相交，因此该空间不是豪斯多夫的。见 非豪斯多夫流形以获取其他示例。

定义 1（拓扑流形）

拓扑空间$M$称为$n$维拓扑流形（或$n$流形），如果：

1. 每个点$x\in M$都有一个开邻域$U\subset M$，该邻域同胚于$\mathbb {R} ^{n}$的开子集。
2. $M$是豪斯多夫的。
3. $M$是第二可数的。

注意：按照惯例，球$B^{0}$是一个单点。任何具有离散拓扑的空间都是 0 维流形。

还要注意所有拓扑流形显然都是局部连通的。

为了强调给定流形$M$是$n$维的，我们将使用简写$M^{n}$。这不能与$n$元笛卡尔积$M\times ...\times M$混淆。但是，我们将在后面证明这种构造确实存在。

警觉的读者可能会想知道为什么我们需要流形是豪斯多夫的和第二可数的。这样做的原因是为了排除一些病态的例子。两个这样的例子是长直线，它不是第二可数的，以及带两个原点的直线，它不是豪斯多夫的。

定理 2

拓扑流形是连通的，当且仅当它是路径连通的。

证明：由于所有拓扑流形显然都是局部连通的，因此该定理立即成立。 ∎

定义 3

设 $M$ 是一个拓扑 $n$- 流形。设 $p\in M$ 且 $p\in U\subseteq M$ 是 $p$ 的一个开邻域。现在，设 $\phi \,:\,U\rightarrow U^{\prime }$，其中 $U^{\prime }\subseteq \mathbb {R} ^{n}$，是一个同胚。则这对 $(U,\phi )$ 被称为 在 $p$ 处的图。

定义 4

设 $M$ 是一个拓扑 $n$- 流形，设 $A=\{(U_{i},\phi _{i})\}_{i\in I}$ 是 $M$ 上的图，使得 $\bigcup _{i\in I}U_{i}=M$。也就是说，$\{U_{i}\}_{i\in I}$ 是 $M$ 的一个开覆盖。则 $A$ 被称为 $M$ 上的 图册。

定义 5

设 $M$ 是一个 $n$ 维流形，设 $(U,\phi )$ 和 $(V,\psi )$ 是一个点 $p$ 的图（因此 $U\cap V\neq \emptyset$）。定义这两个图之间的过渡函数（或图变换）为同胚 $\psi \circ \phi ^{-1}:\phi (U\cap V)\rightarrow \psi (U\cap V)$。

给定一对 $(M,A)$，其中 $M$ 是一个 $n$ 维流形，而 $A$ 是 $M$ 上的一个图集，$M$ 可能满足的性质通常表示为 $A$ 中图之间的过渡函数的性质。这将是我们定义可微流形的概念的方式。

定义 6

流形的图集是光滑的（或 ${\mathcal {C}}^{\infty }$）如果所有过渡函数都是光滑的（所有高阶偏导数都存在且连续）。

定义 7

微分同胚是一个光滑同胚 $f$，使得 $f^{-1}$ 也是光滑的。

注意，在光滑图集中，所有过渡函数都是微分同胚。

定义 8

令 $M$ 为一个流形，且 $A$ 为 $M$ 上的光滑图集。然后，定义 $A_{\mathrm {max} }$ 为 $M$ 上所有满足以下条件的图 $(V,\psi )$ 的集合：对于所有 $(U,\phi )\in A$，$\psi \circ \phi ^{-1}|_{\phi (U\cap V)}$ 和 $\psi \circ \phi ^{-1}|_{\phi (U\cap V)}$ 都是光滑的。

具有上述性质的图 $(V,\psi )$ 被称为与 $A$ 兼容。

引理 9

$A_{max}$ 是 $M$ 上的光滑图集。

Proof: We have to show that the transition functions between any pair of charts in $A_{\mathrm {max} }$ are smooth. This is obvious if one of then is in$A$, so let $(V_{1},\psi _{1})$ and $(V_{2},\psi _{2})$ be charts in $A_{\mathrm {max} }$ that are not in $A$, such that $V_{1}\cap V_{2}\neq \emptyset$. Let $(U,\phi )\in A$ be a chart such that $U\cap V_{1}\cap V_{2}=W\neq \emptyset$. Then $\phi \circ \psi _{1}^{-1}|_{W}$ and $\psi _{2}\circ \phi ^{-1}|_{W}$ are both smooth, since, both $(V_{1},\psi _{1})$ and $(V_{2},\psi _{2})$ are compatible with $A$. Then, $\psi _{2}\circ \psi _{1}^{-1}|_{W}=\psi _{2}\circ (\phi ^{-1}\circ \phi )\circ \psi _{1}^{-1}|_{W}=(\psi _{2}\circ \phi ^{-1}|_{W})\circ (\phi \circ \psi _{1}^{-1}|_{W})$ is smooth since it is a composition of smooth maps. An identical argument for $\psi _{1}\circ \psi _{2}^{-1}$ completes the proof. ∎

显然，如果 $A^{\prime }$ 是包含光滑图集 $A$ 的光滑图集，则 $A_{\mathrm {max} }^{\prime }=A_{\mathrm {max} }$。

光滑映射

定义 10

设 $M^{m}$ 和 $N^{n}$ 是光滑流形， $p\in M$，令 $f\,:\,M\rightarrow N$ 为一个函数。那么，如果对于 $M$ 上的任何图 $(U,\phi )$ 和 $N$ 上的任何图 $(V,\psi )$，使得 $p\in U$ 且 $f(p)\in V$，函数 ${\hat {f}}(\phi (p))=(\psi \circ f\circ \phi ^{-1})(\psi (p))$ 从 $\phi (U\cap f^{-1}(V))\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ 到 $\psi (f(U)\cap V)\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 是欧几里得空间上的光滑函数，那么 $f\,:\,M\rightarrow N$ 称为在 $p$ 处 光滑。 $f$ 称为 光滑函数，如果它在所有 $p\in M$ 处都是光滑的。

引理 11

$f\,:\,M\rightarrow N$ 在 $p\in M$ 处光滑当且仅当存在 $(U,\phi )$ 在 $M$ 上和 $(V,\psi )$ 在 $N$ 上，满足 $p\in U\subseteq f^{-1}(V)$，使得 $(\psi \circ f\circ \phi ^{-1}):\phi (U\cap f^{-1}(V))\rightarrow \psi (f(U)\cap V)$ 是光滑的。

证明: $f$ 是连续的，因为 $\psi \circ f\circ \phi ^{-1}$ 是光滑的，因此是连续的，而 $\phi$ 和 $\psi$ 是同胚映射。设 $(U^{\prime },\phi ^{\prime })$ 和 $(V^{\prime },\psi ^{\prime })$ 是在 $p$ 和 $f(p)$ 处的另外两个图。然后 $(\psi ^{\prime }\circ f\circ {\phi ^{\prime }}^{-1})=(\psi ^{\prime }\circ \psi ^{-1})\circ (\psi \circ f\circ \phi ^{-1})\circ (\phi \circ {\phi ^{\prime }}^{-1})$，它是光滑函数的复合，因为 $M$ 和 $N$ 上的图集是光滑的，因此它是光滑的。 ∎

备注 12

根据引理 11，我们不必检查所有图来判断一个函数是否光滑。这是一个好消息，因为最大图集往往是不可数的。

定义 12

如果 $f\,:\,M\rightarrow N$ 是一个光滑的双射函数，并且其逆函数也是光滑的，那么它被称为微分同胚。如果两个流形之间存在微分同胚，那么它们被称为微分同胚。

引理 13

设 $f\,:\,M\rightarrow N$ 和 $g\,:\,N\rightarrow P$ 是光滑的。那么 $g\circ f\,:\,M\rightarrow P$ 也是光滑的。

证明：令 $(U,\phi )$，$(V,\psi )$ 和 $(W,\xi )$ 分别为 $M,N,P$ 在 $p,f(p),g\circ f(p)$ 处的图。那么，$\xi \circ g\circ f\circ \phi ^{-1}(\phi (p))=(\xi \circ g\circ \psi ^{-1})\circ (\psi \circ f\circ \phi ^{-1})(\phi (p))$ 是欧几里得空间的光滑映射的复合，因此是光滑的。 ∎