拓扑/流形/流形类别

拓扑/流形
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有许多不同的流形概念，它们具有或多或少的结构，以及相应的“流形之间的映射”概念，每个概念都会产生不同的类别及其自身的分类问题。

可以通过遗忘函子在偏序中关联这些类别：“遗忘额外结构”。例如，一个黎曼流形有一个底层的可微流形。出于某些目的，比较类别是有用的：给定类别中的哪些流形允许某个结构，以及有多少个。

在其他方面，不同的类别具有完全不同的理论：比较对称空间和同调流形。

本文描述了流形上的许多结构及其联系，重点是几何和拓扑中研究的类别；在某些情况下，形式化的范畴论观点是该主题的重要组成部分，而在其他情况下，人们不太正式地简单地讨论各种类型的流形和映射，而没有范畴论的装置。

结构类型

流形上值得注意的结构，按刚性递减的顺序排列，包括：^[1]

光滑射影代数簇
凯勒流形
复流形 / 黎曼流形 / 辛流形^[2]
注意，对于辛流形，关于哪些映射是感兴趣的，有各种不同的概念；没有普遍认同的“辛流形类别”。
Diff: 可微流形（也称为光滑流形）
PL: PL流形（分段线性）
正式地说，PL和Diff不能直接比较，因此必须引入PDIFF类别（分段可微），它与PL等价，因此在使用过程中没有区别，除非特别注意。
Top: 拓扑流形
同调流形

这些可以分为几何和拓扑类别：^[3]Diff及以下属于拓扑类别，而以上属于几何类别。拓扑结构具有约定的类别结构（例如可微映射），而几何结构具有各种映射概念，并且没有单一的类别结构——当由G-结构定义时，可以取“尊重G-结构的映射”，例如黎曼流形的等距浸入，但这些可能不是最感兴趣的映射。

某些结构特别特殊

以下结构是代数结构并且非常严格，并且允许优雅的代数分类

这些类别通过遗忘函子相关联：例如，可微流形也是拓扑流形，可微映射也是连续映射，因此存在一个函子 $\operatorname {Diff} \to \operatorname {Top}$ .

这些函子一般来说既不是一对一的，也不是满射的；这些失败通常用“结构”来表达，如下所示。一个位于 $\operatorname {Diff} \to \operatorname {Top}$ 图像中的拓扑流形被称为“允许可微结构”，给定拓扑流形上的纤维是“给定拓扑流形上的不同可微结构”。

因此，给定两个类别，两个自然的问题是

更准确地说，额外结构集的**结构**是什么？

在更一般的范畴中，这个结构集有更多的结构：在 Diff 中它只是一个集合，但在 Top 中它是一个群，而且是函子式的。

在 G 结构的情况下，这正是结构群的约化，其中最熟悉的例子是可定向性：并非所有流形都是可定向的，而可定向的流形恰好允许两个定向（形成一个 $\mathbf {Z} /2$ -主齐性空间）。

一般来说，情况更加复杂；对于从可微（和 PL，以及 Top）流形到具有庞加莱对偶的空间范畴的遗忘函子，这是手术理论，结构群的约化（这里称为“法不变量”）是第一步，第二步（也是最后一步）是手术障碍。对于像复结构或辛结构这样的几何结构，一般来说要困难得多。

遗忘函子是……的重要例子

扩展一个范畴（弱化公理）从范畴论的角度来看通常会产生一个更灵活的理论。另一方面，非常受限的范畴，例如李群或对称空间，通常有非常优雅的理论；中间的理论是最复杂的。这与流形分类根据维数进行的方式类似：低维数受限并被明确分类，高维数灵活且代数化，而中间维数（4 维）是最复杂的。

类似地，在Enriques-Kodaira 分类中，复曲面的陈数有复杂的约束（哪些陈数可以被复曲面实现的问题是陈数的地理问题，目前仍然是一个开放问题），而几乎复曲面可以具有任何陈数，只要 $c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\pmod {12}}$ 。

另请参阅：流形范畴流形是在几何拓扑之外研究的；不同领域的方法和理论差异很大。

在流形定义中放松点集条件，可以得到更广泛的流形类别，这些类别在一般拓扑中得到研究

在实数上可能无穷维的拓扑向量空间上对流形建模，得到以下流形类别，这些类别在泛函分析中得到研究

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