拓扑/Mayer-Vietoris 序列

Mayer-Vietoris 序列是同调理论中用于寻找可表示为更简单空间并集的空间同调群的一个强大工具。

定义

如果 X 是一个拓扑空间，由两个子空间 A 和 B 的内部覆盖，那么

${\begin{aligned}\cdots \rightarrow H_{n+1}(X)\,&{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X){\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B)\rightarrow \\&\quad \cdots \rightarrow H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\rightarrow \,0.\end{aligned}}$

是一个精确序列，其中 $i:A\cap B\hookrightarrow A,j:A\cap B\hookrightarrow B,l:A\hookrightarrow X,k:B\hookrightarrow X$. 对于简化同调，序列结束，而不是

$\cdots \rightarrow {\tilde {H}}_{0}(A\cap B){\xrightarrow {(i_{*},j_{*}))}}{\tilde {H}}_{0}(A)\oplus {\tilde {H}}_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,{\tilde {H}}_{0}(X)\rightarrow \,0.$

例子

考虑图中所示的由两个 2-圆盘 A 和 B 形成的 $S^{2}$ 的覆盖。

$S^{2}$ 由两个 2-圆盘 A 和 B 覆盖

空间 $A\cap B$ 同伦等价于圆。我们知道同伦保持同调群，因此 $H_{n}(A\cap B)\cong 0$ 对于 $n\neq 1$ 以及 $H_{1}(A\cap B)\cong \mathbb {Z}$。还要注意 A 和 B 的同调群是平凡的，因为它们都是可缩的。所以我们知道

$0\rightarrow {\tilde {H}}_{2}(S^{2})\xrightarrow {\partial _{*}} \mathbb {Z} \rightarrow 0$

这意味着 ${\tilde {H}}_{2}(S^{2})\cong \mathbb {Z}$，因为 $\partial _{*}$ 是一个同构，由精确性得出。

考虑由两个开口圆柱体 A 和 B 覆盖的环面。

我们如何选择 A 和 B。

练习

(正在构建中)