拓扑/向量空间

一个向量空间 $V$是由向量的标量倍数形成的。标量通常是实数，但也可以是复数，或者来自任何域。

定义

在一个域 $F$ 上的向量空间 $V$ 是一个集合 $V$，它配备了两种二元运算： $V$ 元素上的普通向量加法和标量乘法，由 $F$ 的元素对 $V$ 元素进行。这些运算服从 8 个公理（u、v 和 w 是 $V$ 中的向量，a 和 b 是 $F$ 中的标量）

1. 结合律（加法）：(u+v)+w = u+(v+w).

2. 结合律（标量和域乘法）：a(bu) = (ab)u

3. 分配律（域加法）：(a+b)u = au+bu

4. 分配律（向量加法）：a(u+v) = au+av

5. 单位元（加法）：$\exists$ 0 $\in V$ 使得 u+0 = u $\forall$ u $\in V$

6. 单位元（标量乘法）：1u = u

7. 交换律：u+v = v+u

8. 逆元：$\exists$ -u $\in V$ 使得 u+(-u) = 0 $\forall$ u $\in V$

基本箭头向量的示例：首先是黑色向量作为红色和蓝色向量的和，然后是黑色向量作为蓝色向量和红色向量的缩放（x2）的和。