传统算盘与珠算/根式/立方根

理论

设 $x$ 为我们要求立方根的数字，例如： $x=456.7890123$。让我们将它的数字以小数点为中心，分成三组，如下所示：

$$x=456.7890123=456.789\cdot 012\cdot 300\cdot 000$$

或者换句话说，让我们定义整数序列 $\alpha _{i}$

$$\alpha _{1}=456,\alpha _{2}=789,\alpha _{3}=012,\alpha _{4}=300,\alpha _{5}=000\cdots$$

并从 $x_{0}=0$ 递归地构建序列 $x_{i}$

$$x_{i}=1000x_{i-1}+\alpha _{i}$$

并设 $y_{i}$ 为 $x_{i}$ 的立方根的整数部分

$$y_{i}=\lfloor {\sqrt[{3}]{x}}_{i}\rfloor$$

即 $y_{i}$ 是最大的整数，其立方不超过 $x_{i}$。最后，我们称余数为差异

$$r_{i}=x_{i}-y_{i}^{3}\geq 0$$

对于我们的示例，我们有

$i$	$\alpha _{i}$	$x_{i}$	$y_{i}$	$r_{i}$
0		0	0	0
1	456	456	7	113
2	789	456789	77	256
3	012	456789012	770	256012
4	300	456789012300	7701	78119199
5	000	456789012300000	77014	6949021256
⋯

我们可以看到，根据构造，$x_{i}$ 随着 $10^{3i}$ （每一步增加三位数字）而增长，实际上，序列 $x_{i}10^{3-3i}$，即 0, 400, 456, 456.789, 456.789012 等等，趋近于 $x$ ($x_{i}10^{3-3i}\to x$)。相比之下，$y_{i}$ ，作为 $x_{i}$ 的立方根的整数部分，仅随着 $10^{i}$ （每一步增加一位数字）而增长。由于 $y_{i}$ 是平方不超过 $x_{i}$ 的最大整数，我们有 $r_{i}=xi-y_{i}^{3}\geq 0$ 如上，但是

$$x_{i}-(y_{i}+1)^{3}=x_{i}-y_{i}^{3}-3y_{i}^{2}-3y_{i}-1<0$$

根据 $y_{i}$ 的定义，或

$$r_{i}=x_{i}-y_{i}^{3}<3y_{i}^{2}+3y_{i}+1$$

乘以 $10^{3-3i}$

$$x_{i}\cdot 10^{3-3i}-(y_{i}\cdot 10^{1-i})^{3}<(3y_{i}^{2}+3yi+1)\cdot 10^{3-3i}$$

但由于  $y_{i}$ 仅以 $10^{i}$ 的速度增长，第二项随着 $10^{-i}$ 趋于零。 

$$x_{i}\cdot 10^{3-3i}-(y_{i}\cdot 10^{1-i})^{3}\to 0$$

并且 $x_{i}\cdot 10^{3-3i}\to x$，因此我们有

$$y_{i}\cdot 10^{1-i}\to y={\sqrt[{3}]{x}}$$

对于其他数字，上述因子为：$10^{3k-3i}$ 和 $10^{k-i}$，其中 $k$ 是小数点左侧三位数字组的个数，如果后面跟着 000 组，则为负数（例如，$k=0$ 对于 $x=0.00456$，$k=-2$ 对于 $x=0.000000456$ 等）。

这是传统手动开立方方法的基础。

步骤

我们从 $i=0,x_{0}=0,y_{0}=0,r_{0}=0$ 开始。

第一位数字

$b$	$b^{3}$
1	1
2	8
3	27
4	64
5	125
6	216
7	343
8	512
9	729

对于 $i=1,x_{1}=\alpha _{1}$。很容易找到 $y_{1}$，使得它的平方不超过 $x_{1}$，可以使用以下易于记忆的立方表。在本例中，为 $y_{1}=7$

其余数字

对于 $i>1$，我们有 $x_{i}=1000x_{i-1}+\alpha _{i}$，如上所述，我们尝试以这种方式构建 $y_{i}$

$$y_{i}=10y_{i-1}+b$$

其中 $b$ 是一个从 0 到 9 的一位整数。要得到 $b$，我们必须从 0 到 9 中选择最大的数字，使得

$$x_{i}-y_{i}^{3}=x_{i}-(10y_{i-1}+b)^{3}\geq 0$$

或

$$x_{i}-(a+b)^{3}\geq 0$$

如果我们写 $a=10y_{i-1}$。展开二项式，我们有

$$x_{i}-a^{3}-3a^{2}b-3ab^{2}-b^{3}=1000x_{i-1}+\alpha _{i}-(10y_{i-1})^{3}-3a^{2}b-3ab^{2}-b^{3}\geq 0$$

或

$$1000r_{i-1}+\alpha _{i}\geq 3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(3a^{2}+3ab+b^{2})b$$

上述表达式的左侧可以简单地看作是前一个余数，并在其后附加了下一个三位数的组。如果我们对 $b$ 的每个值计算右侧项，并与左侧项比较，我们有

$a=10y_{i-1}=70$

$b$	$(3a^{2}+3ab+b^{2})b$	$1000r_{i-1}+\alpha _{i}$
0	0	≤ 113789
1	14911	≤ 113789
2	30248	≤ 113789
3	46017	≤ 113789
4	62224	≤ 113789
5	78875	≤ 113789
6	95976	≤ 113789
7	113533	≤ 113789	⬅
8	131552	> 113789
9	150039	> 113789

很明显，根的下一个数字是 7，但我们如何在一般情况下进行操作，而无需系统地探索每种可能性 ($b=0,1,\cdots ,9$)?

Knott 在这里区分了两种不同的方法

• 准备除数
• 准备被除数

准备除数

这对应于上面的表达式

$$1000r_{i-1}+\alpha _{i}\geq 3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(3a^{2}+3ab+b^{2})b$$

这通常是使用纸笔的策略，当然也可以在算盘上实现。在上面的表达式中，如果我们将左侧视为被除数，并将括号视为除数，则 $b$ 是除法的第一个数字

$$b=(1000r_{i-1}+\alpha _{i})/(3a^{2}+3ab+b^{2})$$

但由于我们还不知道 b，我们只使用除数的主要部分来近似它

$$b=(1000r_{i-1}+\alpha _{i})/(3a^{2})=(1000r_{i-1}+\alpha _{i})/(300y_{i-1}^{2})$$

这给了我们一个关于 $b$ 值的猜测，但我们需要

1. 验证所获得的值是否正确，或者在适当的情况下，根据需要向上或向下修正它。
2. 获得下一个余数以准备计算根的下一个数字。

您可以在 Tone nikki 博客 中看到一个例子，也可以参考下面的 现代方法。

准备被除数

从

$$1000r_{i-1}+\alpha _{i}\geq (3a2+3ab+b2)b=3a\left(a+b+{\frac {b}{3a^{2}}}\right)b$$

我们通过将 $1000r_{i-1}+\alpha _{i}$（附加到先前余数的下一个三位数组）除以 $3a$ 来准备被除数

$$(1000r_{i-1}+\alpha _{i})/3a\geq \left(a+b+{\frac {b}{3a^{2}}}\right)b$$

像往常一样，我们不知道 $b$，我们也无法计算出右边的括号，但我们可以通过将括号近似为其主要部分 $a$，并将其用作试除数来获得关于 $b$ 的线索。

$$\left(a+b+{\frac {b}{3a^{2}}}\right)\approx a$$

因此

$$b\approx (1000r_{i-1}+\alpha _{i})/3a^{2}$$

之后，我们还需要

1. 验证所获得的值是否正确，或者在适当的情况下，根据需要向上或向下修正它。
2. 通过计算 $1000r_{i-1}+\alpha _{i}-3a^{2}b-3ab^{2}-b^{3}$ 来获得下一个余数，为获得根的下一位数字做准备。

请注意

• 除数 3 包含在准备好的被除数中，这会导致非有限小数。
• 除以 $a$ 不仅加剧了上述问题，而且使准备好的被除数特定于当前步骤，因为 $a$ 的值随着结果的不同数字的计算而变化。

这种情况在计算平方根时没有发生，因此，获得立方根的过程要复杂得多，需要一个复杂的准备-恢复被除数的循环，根据 Knott 的说法，可以用以下方案来表示

• a) 除以 $a$。
• b) 除以 3。
• c) 获得 $b$ 作为上述结果除以 $a$ 的第一位数字。
• d) 减去 $b(a+b)$（相当于在 $1000r_{i-1}+\alpha _{i}-3a^{2}b-3ab^{2}-b^{3}$ 中减去 $3a^{2}b$ 和 $3ab^{2}$）。
• e) 乘以 3。
• f) 乘以 $a$。
• g) 减去 $b^{3}$。

在我们这个例子中（$x=456.7890123$），使用传统除法和传统除法排列方式（如 Knott 所做），先计算前两位

456.7890123 的立方根

算盘	评论
ABCDEFG
456789	将数字输入，使第一组与 B 对齐
-343	-7^3=343
113789	第一个余数
7113789	在 A 中输入 7 作为第一个根数位，并在后面添加第二组数字
7113789	a) 将 B-F 除以 7
7162554	b) 将 B-F 除以 3
7541835	c) 将 B 除以 A（一位数）
7751835	d) 从 CD 中减去 7*7=49
77 2835	e) 将 CDEF 乘以 3。将 3✕283 加到 CDEFG 中
77  854	f) 将 CDEF 乘以 7。将 7✕85 加到 CDEFG 中
77  599
-343	g) 从 CDEFG 中减去 7^3=343
77  256	新的余数
...	目前获得的根：7.7

注意

• ^1 a) 无需将除以 7 的计算扩展到当前的三位数组之外。G 中的 4 是一个除法的余数，意味着 4/7。
• ^2 b) 除以 3 也是如此。它一直计算到 F 列，然后将余数（1）暂时加到 G 列。该列中的值（5）是一个奇怪的混合体，意味着 1/3 和 4/7。这并不重要，它将在步骤 e) 和 f) 中被重新吸收。

现代方法

算盘小组 的成员修改了 Knott 描述的技术，使其适应现代算盘的使用。据称，这样做更快，但代价是占用空间更大，需要更多杆的算盘来存储中间数据。结果可以直接替代被开方数的简单性也消失了。

您还可以在日本博主 Tone Nikki（とね日記） 中找到针对平方根和立方根的现代方法的汇编（作者姓名似乎无法获得）。

立方根示例

以下示例均使用传统除法和传统除法排列方式完成。被除数准备-恢复循环的组成部分用 a)、b) 等标记，如上所述。

157464 的立方根

算盘	评论
ABCDEFG	157464 的立方根
157464	将数字输入，使第一组与 B 对齐
-125	从 BCD 中减去 5^3=125
32464	第一个余数：32
5 32464	在 A 中输入 5 作为第一个根数位，并在后面添加第二组数字
5 32464	a) 将 C-F 除以 5（G 将是除法的余数）
5 64924	b) 将 C-F 除以 3
5216404	c) 将 B 除以 5
5416404	d) 从 CD 中减去 4x4=16
54  404	e) 将 40x3 乘以 EFG（添加到 G 中的余数）
54  124	f) 将 12x5 乘以 EFG
54   64	g) 从 FG 中减去 4^3=64
54	余数为 0；完成！根是 54

显然，如果余数为 0 且没有更多（非空）组要添加，那么这个数就是一个完全立方数，我们就完成了。根是 54。

830584 的立方根

算盘	评论
ABCDEFG	830584 的立方根
830584	将数字输入，使第一组与 B 对齐
-729	从 BCD 中减去 9^3=729
101584	101：第一个余数
9101584	在 A 中输入 9 作为第一个根数位，并在后面添加第二组数字
9101584	a) 将 C-F 除以 9（G 将是除法的余数）
9112871	b) 将 C-F 除以 3
9376232	c) 将 B 除以 9（A）
9416232	d) 从 CD 中减去 4x4=16
94  232	e) 将 23x3 乘以 EFG（添加到 G 中的余数）
94   71	f) 将 07x9 乘以 EFG
94   64	g) 从 FG 中减去 4^3= 64
94	余数为 0；完成！根是 94

根是 94。

666 的立方根

算盘	评论
ABCDEFG	666 的立方根
666	将 666 输入 BCD
+	(单位杆)
-512	从 BCD 中减去 8^3=512
154	第一个余数
8154	在 A 中输入 8 作为第一个根数位
8154000	添加 000 作为新的一组
8154000	a) 将 B-F 除以 8（A）
8192500	b) 将 B-F 除以 3
8641662	c) 将 B 除以 8（A）
8781662	d) 从 CD 中减去 BxB=49
8732662	e) 将 C-F 乘以 3 并放到 C-G 中
87 9800	f) 将 C-F 乘以 8（A）并放到 C-G 中
87 7840	g) 从 EFG 中减去 B^3=343
87 7497	目前获得的根为 8.7，余数为 7.497

现在我们继续使用 简化运算。我们需要将余数 (7497) 除以当前根的平方的三倍 ($3\cdot 87^{2}=22707$)

算盘	评论
ABCDEFGHIJKLM
87 7497
87 7497------	对 87 求平方
+49	7^2
+112	2*7*8
+64	8^2
87 7497  7569	乘以 3（加倍）
+14
+10
+12
+18
87 7497 22707	将 7497/22707 除，得到两位数
...
8733	根为 8.733（与 ${\sqrt[{3}]{666}}=8.7328917$ 相比）

237176659 的立方根（三位数）

算盘	评论
ABCDEFGHIJ	237176659 的立方根
237176659	将数字输入，使第一组与 B 对齐
-216	从 BCD 中减去 6^3=216
21176659	21：第一个余数
21176659	在 A 中输入 6 作为第一个根数位，并在后面添加第二组数字
6 21176659	a) 将 B-F 除以 6（A）
6 35292659	b) 将 B-F 除以 3
6117633659	c) 将 B 除以 6（A）
6157633659	d) 从 CD 中减去 BxB=1
6156633659	e) 将 C-F 乘以 3 并放到 C-G 中
6116992659	f) 将 C-F 乘以 8（A）并放到 C-G 中
6110196659	g) 从 EFG 中减去 B^3=343
6110195659	目前获得的根为 61，余数为 10195
----------
6110195659	添加第三组数字
6110195659	a) 将 C-H 除以 61（AB）
6116714158	b) 将 C-H 除以 3
6155713678	c) 将 C 除以 61（AB）
6190813678	d) 从 EF 中减去 CxC=81
619   3678	e) 将 D-H 乘以 3 并放到 D-I 中
619   1158	f) 将 D-H 乘以 61（AB）并放到 D-J 中
619    729	g) 从 HIJ 中减去 C^3=729
619    000	完成，无余数！
----------	根是 619

$48^{3}-1=110591$ 的立方根，精确到八位小数

第一个三位数 110 介于 64 和 125 之间，所以 110 591 的立方根介于 40 和 50 之间。第一个根数字是 4。

第一位数字

110591 的立方根：第一个数字

算盘	评论
ABCDEFG	110591 的立方根
110591	将数字输入，使第一组与 B 对齐
-64	从 BCD 中减去 6^3=216
46591	46：第一个余数
46591	在 A 中输入 4 作为第一个根数字，并附加第二个组
4 46591	第一个数字 OK！

第二个数字

110591 的立方根：第二个数字

算盘	评论
ABCDEFG
4 46591	a) 用 4 (A) 除以 B-F
4116473	b) 将 B-F 除以 3
4388234	c) 用 4 (A) 除以 B
4868234	d) 从 CD 中减去 BxB=64
48 4234	e) 将 C-F 乘以 3 并放到 C-G 中
48 1273	f) 将 C-F 乘以 4 (A) 在 C-G 中
48  511	g) 无法从 EFG 中减去 8^3=512！后退（见结尾处的说明）
48  511	-f) 用 4 (A) 除以 C-F
48 1273	-e) 用 3 除以 C-F
48 4234	-d) 在 CD 中加上 8x8=64
4868234	-c) 向下修正 B
-1
+4
47T8234	d) 从 CD 中减去 BxB=49 (T=10)
4759234	e) 将 C-F 乘以 3 并放到 C-G 中
4717773	f) 将 C-F 乘以 4 (A) 在 C-G 中
47 7111	g) 从 EFG 中减去 B^3=343
47 6768	第二个数字 OK！余数 6768

第三个数字

110591 的立方根：第三个数字

算盘	评论
ABCDEFGHIJ
47 6768000	将 000 附加到之前的余数
47 6768000	a) 用 47 (AB) 除以 C-H
4714400000	b) 将 C-H 除以 3
4748000000	c) 用 47 (AB) 除以 C
4795700000	d) 从 EF 中减去 C^2=81
4794890000	e) 将 D-H 乘以 3 并放到 D-I 中
4792298300	f) 将 D-H 乘以 47 (AB) 在 D-J 中
479 689490	g) 从 HIJ 中减去 C^3=729
479 688761	第三个数字 OK！余数 688761

第四个数字

110591 的立方根：第四个数字

算盘	评论
ABCDEFGHIJKLM
479 688761000	将 000 附加到之前的余数
479 688761000	a) 用 479 除以 D-J
4791437914194	b) 用 3 除以 D-J
4794793046394	c) 用 479 除以 D 1d
4799482046394	d) 从 GH 中减去 9^2=81
4799473946394	e) 将 E-J 乘以 3 在 E-K 中
4799142184194	f) 将 E-J 乘以 479 在 E-M 中
4799 68106330	g) 从 KLM 中减去 -D^3=729
4799 68105601	第四个数字 OK！余数 68105601

现在我们使用简化运算来完成计算。我们需要将余数（68105601）除以当前根（4799）的平方的三倍。结果的前四位数附加到已经获得的数字之后；例如

110591 的立方根：继续使用简化运算

算盘	评论
ABCDEFGHIJKLM
4799 68105601	用 4799 除以 E-M
479914191623	用 4799 除以 E-M
47992957204	用 3 除以 E-M
47999857	将此与 ${\sqrt[{3}]{110591}}=47.9998553236\cdots$ 进行比较

正如我们所见，我们得到了一个具有 7 位有效数字的结果。

注意：我们发现根为 48 时，无法减去 $8^{3}=512$，或者我们得到了一个负余数（-1）。这似乎不太好，因为它迫使我们撤销部分工作并向下修正新的根数字，但在实践中我们发现这是一个幸运的结果：小的余数（-1）告诉我们 48 是一个很好的（过量的）根的近似值，开辟了一种解决问题的新方法。实际上，我们有

$$110591=48^{3}-1=48^{3}\left(1-{\frac {1}{48^{3}}}\right)$$

或

$${\sqrt[{3}]{110591}}=48{\sqrt[{3}]{1-{\frac {1}{48^{3}}}}}$$

我们可以使用

$${\sqrt[{3}]{1-a}}\approx 1-{\frac {a}{3}}$$

因此

$${\sqrt[{3}]{110591}}=48{\sqrt[{3}]{1-{\frac {1}{48^{3}}}}}\approx 48\left(1-{\frac {1}{3\cdot 48^{3}}}\right)=48-{\frac {1}{3\cdot 48^{2}}}=47.999855324$$

与 ${\sqrt[{3}]{110591}}=47.999855323638$ 进行比较。因此，我们可以用很少的努力就能达到很高的精度！

从初等算术到数值分析

算盘目前被视为传统艺术或培养一般数值和认知技能的一种手段，在计算机时代，它不太可能被用作计算器来解决现实世界的问题。但如果真是这样，你必须解决大量的立方根（这很不寻常），你可能想从传统方法或基本算术转向现代的数值分析方法，尝试牛顿-拉夫森方法。你可以在 jccAbacus 中找到这种方法在算盘上的应用......

附录：两位数的立方

两位数的立方

	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9
10	1331	1728	2197	2744	3375	4096	4913	5832	6859
20	9261	10648	12167	13824	15625	17576	19683	21952	24389
30	29791	32768	35937	39304	42875	46656	50653	54872	59319
40	68921	74088	79507	85184	91125	97336	103823	110592	117649
50	132651	140608	148877	157464	166375	175616	185193	195112	205379
60	226981	238328	250047	262144	274625	287496	300763	314432	328509
70	357911	373248	389017	405224	421875	438976	456533	474552	493039
80	531441	551368	571787	592704	614125	636056	658503	681472	704969
90	753571	778688	804357	830584	857375	884736	912673	941192	970299

这可以帮助你练习两位数的立方根。

示例：${\sqrt[{3}]{250047}}=60+3=63$