传统算盘与珠算/根/平方根

理论

设 $x$ 为我们要获取平方根的数字 ${\textstyle y={\sqrt {x}}}$；让我们考虑其十进制展开，例如：${\textstyle x=456.7890123}$。让我们以以下方式将它的数字分成以小数点为中心的两组

$$x=456.7890123=4\cdot 56\cdot 78\cdot 90\cdot 12\cdot 30\cdot 00\cdot 00\cdots$$

或者换句话说，让我们定义整数序列 $\alpha _{i}$

$$\alpha _{1}=4,\alpha _{2}=56,\alpha _{3}=78,\alpha _{4}=90,\alpha _{5}=12,\alpha _{6}=30,\alpha _{7}=00,\cdots$$

并从 ${\textstyle x_{0}=0}$ 递归地构建序列 ${\textstyle x_{i}}$

$$x_{i}=100x_{i-1}+\alpha _{i}$$

并设 $y_{i}$ 为 $x_{i}$ 平方根的整数部分

$$y_{i}=\lfloor {\sqrt {x}}_{i}\rfloor$$

例如，$y_{i}$ 是最大的整数，其平方不超过 $x_{i}$。最后，我们将余数称为差值

$$r_{i}=x_{i}-y_{i}^{2}\geq 0$$

对于我们的例子，我们有

$i$	$\alpha _{i}$	$x_{i}$	$y_{i}$	$r_{i}$
0		0	0	0
1	4	4	2	0
2	56	456	21	15
3	78	45678	213	309
4	90	4567890	2137	1121
5	12	456789012	21372	26628
⋯

我们可以看到，根据构造，$x_{i}$ 随着 $10^{2i}$ （每一步增加两位数字）增长，实际上序列 $x_{i}\cdot 10^{4-2i}$：（0, 400, 456, 456.78, 456.7890, 等等）趋于 $x$ ${\textstyle \left(x_{i}\cdot 10^{4-2i}\rightarrow x\right)}$ 或 ${\textstyle x=\left(\lim _{i\to \infty }x_{i}\cdot 10^{4-2i}\right)}$。相比之下，$y_{i}$ 作为 $x_{i}$ 平方根的整数部分，仅随着 $10^{i}$ （每一步增加一位数字）增长。由于 $y_{i}$ 是平方不大于 $x_{i}$ 的最大整数，我们有 $r_{i}=x_{i}-y_{i}^{2}\geq 0$ 如上，但是

$$x_{i}-(y_{i}+1)^{2}=x_{i}-y_{i}^{2}-2y_{i}-1<0$$

根据 $y_{i}$ 的定义，或者

$$r_{i}=x_{i}-y_{i}^{2}<2y_{1}+1$$

乘以 $10^{4-2i}$

$$x_{i}\cdot 10^{4-2i}-(y_{i}\cdot 10^{2-i})^{2}<(2y_{i}+1)\cdot 10^{4-2i}$$

但由于 $y_{i}$ 仅以 $10^{i}$ 的速度增长，第二项随着 $10^{-i}$ 趋于零。因此

$$x_{i}\cdot 10^{4-2i}-(y_{i}\cdot 10^{2-i})^{2}\rightarrow 0$$

并且 $x_{i}\cdot 10^{4-2i}\rightarrow x$，因此我们有

$$y_{i}\cdot 10^{2-i}\rightarrow y={\sqrt {x}}$$

对于其他数字，上述因子为： $10^{2k-2i}$ 和 $10^{k-i}$，其中 $k$ 是小数点左侧两位数组的个数，如果后面跟着 00 组，则为负数（例如，$k=-1$ 表示 $x=0.00456$，$k=-2$ 表示 $x=0.00000456$，等等）。

这是传统手动开平方方法的基础。

过程

我们从 $i=0$，$x_{0}=0$，$y_{0}=0$，$r_{0}=0$ 开始。

第一位数字

平方表

$b$	$b^{2}$
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36
7	49
8	64
9	81

对于 $i=1$ 和 $x_{1}=\alpha _{1}$，很容易找到 $y_{1}$，使其平方不超过 $x_{1}$，可以使用以下平方表，该表很容易记忆，因为它只是乘法表的子集。对于这个例子，我们发现 $y_{1}=2$。

剩余的数字

对于 $i>1$，我们有 $x_{i}=100x_{i-1}+\alpha _{i}$ 如上所定义，我们尝试以以下方式构建 $y_{i}$

$$y_{i}=10y_{i-1}+b$$

其中 $b$ 是一个从 0 到 9 的一位整数。为了获得 $b$，我们必须从 0 到 9 中选择最大的数字，使得

$$x_{i}-y_{i}^{2}=x_{i}-(10y_{i-1}+b)^{2}\leq 0$$

或者

$$x_{i}-(a+b)^{2}\leq 0$$

如果我们将 $a=10y_{i-1}$。展开二项式，我们有

$$x_{i}-a^{2}-2ab-b^{2}=100x_{i-1}+\alpha _{i}-(10y_{i-1})^{2}-2ab-b^{2}\leq 0$$

或者

$$100r_{i-1}+\alpha _{i}\geq 2ab+b^{2}=(2a+b)b=(20y_{i-1}+b)b$$

上述表达式的左侧可以看作是前一个余数加上下一个两位数的组合，最后一个项的括号可以看作是前一个根的两倍加上数字b。在我们的例子中，对于 $i=2$，我们有56在左侧，上述表达式是

$$56\geq (40+b)b$$

这个表达式仅在 $b=0$ 或 $b=1$ 时成立，所以1是我们的下一个根的数字，但是，如何在一般情况下进行，而不必系统地探索每一种可能性($b=0,1,\cdots ,9$)?

Knott区分了两种不同的方法

• 准备除数
• 准备被除数。

准备除数

这对应于上面的表达式

$$100r_{i-1}+\alpha _{i}\geq (20y_{i-1}+b)b$$

这是通常用纸笔使用的方法，当然也可以在算盘上实现。在上面的表达式中，如果我们将左侧视为被除数，括号视为除数，b就是除法的第一个数字

$$b=(100r_{i-1}+\alpha _{i})/(20y_{i-1}+b)$$

但由于我们还不知道b，我们只使用除数的主要部分来近似它

$$b=(100r_{i-1}+\alpha _{i})/(20y_{i-1})$$

这给了我们一个关于b值可能是什么的猜测，但我们需要

1. 验证这样得到的值是否正确，或者在适当的情况下，根据需要向上或向下修正它。
2. 获得下一个余数，以准备计算根的下一个数字。

这两个步骤都需要从$(20y_{i-1}+b)b$ 或 $20y_{i-1}b$ 和 $b^{2}$ 中减去$100r_{i-1}+\alpha _{i}$；检查我们是否不会得到负值，以及剩余部分是否小于$2y_{i}+1$（否则我们必须修正$b$ 上调或下调）。如果我们正确地执行了这个操作，我们剩下的是新的余数$r_{i}$。需要注意的是，随着我们进行计算（$i$ 增加），$b$ 对除数$(20y_{i-1}+b)$ 的贡献越来越小；因此，上面指出的过程将越来越像一个简单的除法。

这是高岛隆在第二本书《珠算进阶 - 理论与实践》 中提出的方法，您可以在Totton Heffelfinger 的网站 http://totton.idirect.com/abacus/ 上的《Kojima 解平方根》 中看到其描述，我建议读者参考这些资料以了解解释和示例。以下是我们的示例中计算可能开始的方式的简要说明：$x=456.7890123$

纳皮尔的骨头 排列以帮助计算示例中的第三位根

${\sqrt {456.7890123}}$ 的前三位数字，准备除数

算盘	注释
ABCDEFGHIJKLM
4567890123	从 CD（第一组）开始输入被开方数
2	第一位根在 B 中
-4	从第一组中减去 B 的平方
2  567890123	余数为零
4  567890123	将 B 乘以 2。将下一组（56）追加到余数
41 567890123	5/4≈1，尝试 1 作为下一位根
-4	继续除以 41，从 EF 中减去 1✕41
-1
41 157890123	余数为 15
42 157890123	将第二位根乘以 2
42 157890123	追加下一组（78）
423157890123	157/42≈3，尝试 3 作为下一位根
-12	继续除以 423，从 E-H 中减去 3✕423
-06
-09
423 30990123	余数为 309
426 30990123	将第三位根乘以 2
426 30990123	追加下一组（90）
等等。

可以看到，根的两倍向算盘左侧增长，损害了被开方数/余数和未使用的两位数组。这与算盘上其他基本运算相反，在其他基本运算中，**求解的结果会取代操作数**（或其中一个操作数）。因此，传统上，求平方根的首选方法似乎是下面的方法，我们将在其中看到根直接出现在算盘上，而不是它的两倍。

准备被除数

再次从

$$100r_{i-1}+\alpha _{i}\geq (20y_{i-1}+b)b=20y_{i-1}b+b^{2}$$

除以 2

$$(100r_{i-1}+\alpha _{i})/2\geq 10y_{i-1}b+b^{2}/2$$

修改后的表达式将使我们能够在算盘上直接得到平方根，其操作步骤与上面基本相同，只是在算盘上只保留一半余数。这里，对于平方根来说，变化几乎微不足道，但在处理立方根时将更加重要。如上式所示，忽略 ${\textstyle b^{2}/2}$ 项，我们可以通过简单地将扩展后的半余数 $(100r_{i-1}+\alpha _{i})/2$ 除以之前的根 $y_{i-1}$ （实际上是 $10y_{i-1}$）来获得 $b$ 的估计值。之后，我们还需要

1. 验证这样得到的值是否正确，或者在适当的情况下，根据需要向上或向下修正它。
2. 获得下一个半余数，以便为根的下一位数字做准备。

这是通过从半余数中减去 $10y_{i-1}b$ 和 ${\textstyle b^{2}/2}$ 来实现的，这使得记住以下半平方表非常方便

半平方表

$b$	$b^{2}/2$
1	0.5
2	2
3	4.5
4	8
5	12.5
6	18
7	24.5
8	32
9	40.5

幸运的是，由于 2 是我们基数（10）的约数，因此表中的十进制小数有一个有限表达式；而当我们试图将此过程扩展到立方根时，我们不得不处理立方体的三分之一，这种情况就不会发生。据 Knott 说，这使得立方根成为不适合用算盘处理的问题。

示例

这里给出了三个示例，更多示例请参见下面的 进一步阅读，特别是 外部资源。

961 的平方根

在这个例子中，我们有两组两位数：09 和 61。第一组告诉我们根的第一位数字是 3。

有两种方法可以开始求平方根

• 从算盘的 B 列开始，将各组数字对齐到算盘的左侧，并使用传统的除法来获得半余数。

	A	B	C	D	E
						...
		0	9	6	1

这是旧书中使用的方法，也是村上在 用 kijohou 求平方根教程 中使用的方法（见下文 外部资源）。

使用传统的除法

算盘	注释
ABCDE
0961	将被开方数与 B 对齐
30961	将根的第一位数字输入 A
-9	减去根的第一位数字的平方（9）
30061
30305	将余数 B-E 除以 2（帰除法）

• 从算盘的 A 列开始，将各组数字对齐到算盘的左侧，并使用 原位 除法，如第 除以二的幂 章所述，来获得半余数。

	A	B	C	D	E
						...
	0	9	6	1

这种方法稍微快一些。

使用原位除法

算盘	注释
ABCDE
0961	将被开方数与 A 对齐
-9	减去根的第一位数字的平方（9）
0061
0305	将余数原位除以 2
30305	将根的第一位数字输入 A

从这里开始，算盘的状态一致，我们可以继续

继续

算盘	注释
ABCDE
30305
+1	将半余数 B-E 除以 3。将 B 向上修正
-3
31005
-05	从 D 中减去 b^2/2 =0.5
31000	半余数为 0，完成！根为 31
31	根为 31

998001 的平方根

${\sqrt {998001}}=999$

算盘	注释
ABCDEFG
998001	输入被开方数
-81	从第一组中减去 9^2=81
188001
940005	将余数原位除以 2
9940005	将根的第一位数字输入 A
9930005	B：规则 9/9>9+9
-405	从 D 中减去 9^2/2=40.5
9989505
9987505	C：规则 8/9>8+8
-72	从 DE 中减去 CxB=72
998T305	将 C 向上修正
+1
-99
9990405
-405	从 F 中减去 9^2/2=40.5
9990000	余数为 0。完成！
999	根为 999

456.7890123 的根

我们上面的例子...

${\sqrt {456.7890123}}=21.3726229\cdots$ 的前 4 位数字

算盘	注释
ABCDEFGHIJKL
04567890123	输入 x，将数字对从 AB、CD 等对齐。
-4	从第一组中减去 2^2
567890123
2839450615	将余数和其余数字对减半
2 2839450615	在 A 中输入第一个根数字
+1	用 A 除 BCD（向上修正 B）
-2
-05	从 D 中减去 B^2/2=0.5
21 789450615
+3	用 AB 除 CDEF（向上修正 C 三次）
-6
-3
-45	从 F 中减去 C^2/2=4.5
213154950615
213554950615	用 ABC 除 DEFGH。D：规则 1/2>5+0
-5	从 EF 中减去 DxB=5
-15	从 FG 中减去 DxC=15
213548450615
+2	向上修正 D 两次
-426
213705850615
-245	从 H 中减去 7^2/2=24.5
21370560F615	到目前为止的根：21.37
等等。	等等。

根 2137…（21.37…）出现在左侧。查看章节：简化运算 了解如何快速估算接下来的 4 位数字。

结论

解释为：准备被除数 的方法被称为 半九九法（日语中称为 Hankukuhou，中文中称为 Bàn jiǔjiǔ fǎ），我们在此自由地将其翻译为 半余数法，它迄今为止是最方便使用的方法，至少有两个原因

1. 根（而不是它的两倍）取代了操作数（被开方数），就像算盘上的其他运算一样。
2. （最重要的是）用以 1 开头的数字进行除法很麻烦。考虑一下前两位数字，它的值介于 1 和 99 之间，并决定了平方根的第一位数字。对于第一对的值介于 25 和 99 之间（75% 的情况），根的第一位数字介于 5 和 9 之间，它的两倍以 1 开头！因此，如果我们使用 准备除数 的方法，我们将用以 1 开头的数字进行除法，这种情况占 75% 。相反，如果我们使用 准备被除数 的方法，只有在第一组是 1、2 或 3 的情况下（3% 的情况），我们才需要用以 1 开头的数字进行除法。

半余数法 或 准备被除数 方法的优越性是毋庸置疑的。

进一步阅读

• Siqueira, Edvaldo; Heffelfinger, Totton. "Kato Fukutaro's Square Roots". 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archived from the original on August 1, 2021. {{cite web}}: Unknown parameter |accesdate= ignored (|access-date= suggested) (help)

• Treadwell, Steve (2015). "Improvements to the Kato Method for Finding Square Roots" (PDF). 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archived from the original (PDF) on August 1, 2021. {{cite web}}: Unknown parameter |accesdate= ignored (|access-date= suggested) (help)
• 平方根 (半九九法)；使用传统除法的传统方法 在 jccAbacus 中

外部资源

• 村上 使用 Kijoho 的平方根教程，这是一个 JavaScript 应用程序，您可以直接在浏览器中运行 或者从其GitHub 仓库 下载到您的电脑。您只需在左侧的小输入框中输入根，然后反复按下屏幕上的“下一步”按钮即可一步一步地查看该过程的进展。因此，您可以生成任意数量的示例或练习。