三角学/三角形内角和为 180 度

在任何三角形中，角
始终加起来为 $180^{\circ }\,$

角的和

在任何三角形中，角始终加起来为 $180^{\circ }$

这是一个可能令人惊讶的事实。

因为 $90^{\circ }$ 是直角，这意味着任何三角形的内角和等于两个直角的和。如果我们“撕掉”三角形的三个角，并将它们放在同一个点上，我们可以将它们排列成一条直线。三角形不必具有任何特殊性质，任何三角形都满足这个结论。

内角和为 180 度

下面显示了我们之前的一些三角形示例


等边三角形	45-45-90 三角形	30-60-90 三角形	50-60-70 三角形	20-40-120 三角形

第一个例子显示了一个等边三角形。所有边都相等。所有角都相等。每个角都是 60 度。内角和为 $60^{\circ }+60^{\circ }+60^{\circ }$ ，即 $180^{\circ }$ 。
第二个三角形显示了一个直角三角形。其中一个角是直角。这个直角三角形有两条边长度相等。它是对称的。它符合我们对等腰三角形的标准。这是一个非常特殊的等腰三角形，因为它既是等腰三角形，又是直角三角形。它有一个 90 度角，另外两个角都是 45 度。内角和为 $45^{\circ }+45^{\circ }+90^{\circ }$ ，即 $180^{\circ }$ 。
第三个三角形有时被称为 30°-60°-90° 三角形，因为它的角。它实际上是一个等边三角形的一半。内角和为 $30^{\circ }+60^{\circ }+90^{\circ }$ ，即 $180^{\circ }$ 。

模式很清楚。

接下来我们有一个更随意的三角形。所有边都不相等。角分别为 50 度、60 度和 70 度。内角和为 $50^{\circ }+60^{\circ }+70^{\circ }$ ，即 $180^{\circ }$ 。
最后我们得到一个有钝角的三角形，也就是说其中一个角大于 90°。这三个角分别是 20°、40° 和 120°，三个角的和是 $20^{\circ }+40^{\circ }+120^{\circ }$ ，也就是 $180^{\circ }$ 。

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这些例子表明它可能是真的，但它们并没有证明这一点。

我们可以继续对其他三角形进行同样的操作，并不断得到相同的答案，除非我们犯了错误。这可能会让我们相信三角形的内角和等于 180° 对所有三角形都成立，但这并不能证明这一点。要证明它，我们需要某种通用的论证，能够让数学家信服它是正确的。我们怎么知道它总是正确的呢？

它可能会错在哪里？嗯，如果我们没有尝试过钝角三角形，那么公式可能只适用于没有钝角的三角形。即使我们尝试了钝角三角形，我们也可能没有足够努力地寻找一个不符合公式的例子。据我们所知，这个公式可能只适用于角是 5° 的倍数的三角形。

证明将表明它适用于所有三角形

这个公式实际上适用于所有三角形。例如，我们可以做一个内角为 33° 和 66° 的三角形，第三个角必须是 81°。不幸的是，即使我们制作了越来越多的例子，我们也无法证明它适用于所有三角形。我们需要一种不同的方法。我们将在后面给出证明。证明的目的是证明它适用于所有三角形，而不仅仅是我们选择观察的那些三角形。