三角学/圆与三角形/内切圆

三角形的内切圆是唯一一个以三角形三边为切线的圆。它是完全位于三角形内的最大圆。

它的圆心，即三角形的内心，位于三角形三个角的角平分线的交点。这可以通过以下方式解释

• $\angle {ABC}$ 的角平分线是到直线 ${\overline {AB}}$ 和 ${\overline {BC}}$ 等距的点的集合。
• $\angle {ACB}$ 的角平分线是到直线 ${\overline {BC}}$ 和 ${\overline {AC}}$ 等距的点的集合。
• 两条直线相交的点到 ${\overline {AB}}$ 和 ${\overline {BC}}$ 的距离相等，并且到 ${\overline {BC}}$ 和 ${\overline {AC}}$ 的距离也相等。因此，交点到 ${\overline {AB}}$ 的距离等于它到 ${\overline {BC}}$ 的距离，也等于它到 ${\overline {AC}}$ 的距离。因此，它位于 $\angle {BAC}$ 的角平分线上。
• 三条角平分线相交的点到 ${\overline {AB}}$，${\overline {BC}}$ 和 ${\overline {AC}}$ 的距离相等。因此，以该点为圆心可以作一个圆，与三条直线相切。

计算半径

它的半径，即 **内切圆半径**（通常用 r 表示），由 r = K/s 给出，其中 K 是三角形的面积，s 是半周长（a+b+c)/2（a、b 和 c 是边长）。为了证明这一点，请注意连接角与内心线的将三角形分成三个较小的三角形，底边分别为 a、b 和 c，每个三角形的高度为 r。这三个三角形的总面积，即原始三角形的面积 K，为 ar/2 + br/2 + cr/2。整理一下，结果就出来了。

应用海伦公式，$r={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)/s}}$

如果三角形的 外接圆半径 为 R，则 K$R={\frac {abc}{4}}$。将此与 r 的公式结合起来，$Rr={\frac {abc}{4s}}$.

内心到 A 的距离为 4Rsin(^B⁄₂)sin(^C⁄₂)，其他顶点也是如此。

外心和内心的距离平方为 R(R-2r)。因此，R > 2r，除非两个圆心重合（这种情况只发生在等边三角形中）。

半径的另一种公式

设 I 为内心。考虑三角形 BIC。设 D 为内切圆与 BC 相切的点；∠IDB、∠IDC 为直角。

∠IBD = ^B⁄₂ 且 ∠ICD = ^C⁄₂。

BD = r cot(^B⁄₂)；CD = r cot(^C⁄₂)；BD+CD = BC = a。

$r\left(\cot \left({\frac {B}{2}}\right)+\cot \left({\frac {C}{2}}\right)\right)=a$

$r={{a} \over {\cot({\frac {B}{2}})+\cot({\frac {C}{2}})}}=a{{\sin({\frac {B}{2}})\sin({\frac {C}{2}})} \over {\cos({\frac {A}{2}})}}$

由对称性，还有两个分别涉及 b 和 c 的公式。

将 a = 2Rsin(A) 代入，可得

$r=4R\sin \left({\frac {A}{2}}\right)\sin \left({\frac {B}{2}}\right)\sin \left({\frac {C}{2}}\right)$.

^r⁄_R 因此对于等边三角形等于 ¹⁄₂，并且可以证明对于任何其他三角形它都小于此值。

相等内切圆定理

考虑一条直线和该直线外的一个点 X。选择点 A、B、C、D、E、F ... 使得三角形 XAB、XBC、XCD、XDE、XEF ... 的内切圆半径相等。然后，三角形 XAC、XBD、XCE、XDF ... 的内切圆半径将彼此相等（虽然大于 XAB 的内切圆半径）。类似地，三角形 XAD、XBE、XCF ... 的内切圆半径将彼此相等，依此类推。

另一个圆

角平分线与对边相交于三个点。这三个点定义了一个圆，该圆通常会与每条边相交两次，从而定义圆的三个弦。（在等腰三角形中，底边是圆的切线；在等边三角形中，所有三条边都是切线。）最长弦的长度等于另外两条弦的长度之和。