要找到 sin(θ) 的导数。
显然，第一项的极限是 cos ( x ) {\displaystyle \cos(x)} 因为 cos ( x ) {\displaystyle \cos(x)} 是一个连续函数。写 k = h 2 {\displaystyle k={\frac {h}{2}}} ; 那么第二项是
我们 之前证明过 当 k → 0 {\displaystyle k\to 0} 时，它趋近于 1。
并且因为
第二项的极限也是 1。 因此
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\bigl [}\sin(x){\bigr ]}=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2\cos {\bigl (}x+{\frac {h}{2}}{\bigr )}\sin {\bigl (}{\frac {h}{2}}{\bigr )}}{h}}=\lim _{h\to 0}\left[\cos {\bigl (}x+{\tfrac {h}{2}}{\bigr )}{\frac {\sin {\bigl (}{\frac {h}{2}}{\bigr )}}{\frac {h}{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/520a2cff3430e0a122f02bcc55d42d08e14fa97a)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\bigl [}\sin(x){\bigr ]}=\cos(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09da8412f9b560b78e309bfb0a2ade532cd2ad8c)