三角函数/二倍角公式

余弦和正弦的二倍角公式

$\cos(2a)=2\cos ^{2}(a)-1$

$\sin(2a)=2\cos(a)\sin(a)$

什么是二倍角公式？

二倍角公式将一个角的两倍的余弦和正弦表示为原来角度的余弦和正弦。我们将从正弦和余弦的加法公式推导出它们。这些公式是

$\cos(2a)=2\cos ^{2}(a)-1$

和

$\sin(2a)=2\cos(a)\sin(a)$

练习推导非常值得，这样你就可以快速轻松地进行。然后你就不需要记住公式了，因为你可以从正弦和余弦的加法公式中快速得到它们。练习推导也很有益，因为更熟练地使用代数会让你在使用三角函数的其他代数运算中更加熟练。

练习：检查这些公式是否有意义 我们在这些公式中是否打错了字？检查一下，至少它们是否有意义。 我们知道 $\sin(0)=0$ 以及 $\cos(0)=1$。尝试使用这些值。这些公式有效吗？ $-1\leq \cos(\theta )\leq 1$ 和 $-1\leq \sin(\theta )\leq 1$。这些公式是否与之一致？ 编造你自己的“现场检查”来检查这些公式

示例：余弦的半角公式 如果我们设置 $\alpha =2a$，我们会立即得到 $\cos(\alpha )=2\cos ^{2}{\bigl (}{\tfrac {\alpha }{2}}{\bigr )}-1$ 检查一下。你同意吗？或者重新排列 $\cos {\bigl (}{\tfrac {\alpha }{2}}{\bigr )}={\sqrt {\frac {\cos(\alpha )+1}{2}}}$ 因此，如果我们知道 $90^{\circ }$ 的余弦值（我们知道，它是零），我们可以计算出 $45^{\circ }$ 和 $22.5^{\circ }$ 和 $11.25^{\circ }$ 等等。 $\cos(45^{\circ })={\sqrt {\frac {\cos(90^{\circ })+1}{2}}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}$ $\cos(22.5^{\circ })={\sqrt {\frac {\cos(45^{\circ })+1}{2}}}={\sqrt {\frac {{\sqrt {\frac {1}{2}}}+1}{2}}}$ $\cos(11.25^{\circ })={\sqrt {\frac {\cos(22.5^{\circ })+1}{2}}}={\sqrt {\frac {{\sqrt {\frac {{\sqrt {\frac {1}{2}}}+1}{2}}}+1}{2}}}$

倍角公式证明

我们将从加法公式中证明倍角公式。回想一下

$\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$

将 $b=a$ 代入上述公式得到

$\cos(2a)$	$=\cos(a+a)$
	$=\cos(a)\cos(a)-\sin(a)\sin(a)$
	$=\cos ^{2}(a)-\sin ^{2}(a)$

所以

$\cos(2a)=\cos ^{2}(a)-\sin ^{2}(a)$

将此与用正弦和余弦表示的“勾股定理”进行比较。注意上面倍角公式有一个减号而不是加号，否则它将表示 $\cos(2a)=1$，这意味着 cos 对于所有 t 值都为 1，我们知道这是不正确的。

用余弦或正弦表示

公式

$\cos(2a)=\cos ^{2}(a)-\sin ^{2}(a)$

还不是我们想要的。我们要消除正弦项，用余弦表示它。为此，我们使用“勾股定理”的变形。

$\cos ^{2}(a)+\sin ^{2}(a)=1$

这与

$-\sin ^{2}(a)=\cos ^{2}(a)-1$

所以

$\cos(2a)=\cos ^{2}(a)-\sin ^{2}(a)=\cos ^{2}(a)+\cos ^{2}(a)-1=2\cos ^{2}(a)-1$

所以

$\cos(2a)=2\cos ^{2}(a)-1$

这就是我们想要的。

如果我们愿意，我们可以使用伪装的勾股定理将 $\cos ^{2}(a)$ 替换为 $\sin ^{2}(a)$。

练习：用正弦表示的二倍角余弦公式。 现在就做，换句话说，用 $\sin(a)$ 表示 $\cos(2a)$ $\cos(2a)$$\cos(2a)$ 检查你的答案，特别要确保所有的负号都正确。

正弦的二倍角公式

现在我们将用正弦的加法公式来得到正弦的二倍角公式。

$\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)$

检查我们是否正确引用了加法公式，然后在上面的公式中代入 $b=a$

$\sin(2a)$	$=\sin(a+a)$
	$=\sin(a)\cos(a)+\sin(a)\cos(a)$
	$=2\cos(a)\sin(a)$

所以

$\sin(2a)=2\cos(a)\sin(a)$

与余弦公式不同，仅仅用 $\sin(a)$ 表示 $\sin(2a)$ 的替换将涉及平方根，因此我们不会这样做。上面的公式通常是最方便使用的形式。

三倍角和更高角度

使用上述方法两次，并在适当的情况下使用勾股定理，我们发现

$\sin(3a)=3\sin(a)-4\sin ^{3}(a)$

$\cos(3a)=4\cos ^{3}(a)-3\cos(a)$

通过重复这个过程，我们可以找到 $\sin(na)$ 和 $\cos(na)$ 的公式，其中n为任意整数。但是，这些公式会变得相当长。

记住这些公式并不值得。它们并不经常使用，可以从公式表中查找，或者在需要的时候计算出来。自己推导出这些公式对练习代数很有帮助，所以......

练习：正弦和余弦的三倍角公式 自己推导出 $\sin(3\alpha )$ 和 $\cos(3\alpha )$ 的公式。

正切的二倍角和三倍角

通过使用 $\tan(a)={\frac {\sin(a)}{\cos(a)}}$ ，可以得出

$\tan(2a)={\frac {2\tan(a)}{1-\tan ^{2}(a)}}$

$\tan(3a)={\frac {3\tan(a)-\tan ^{3}(a)}{1-3\tan ^{2}(a)}}$

与 $\sin(3\alpha )$ 和 $\cos(3\alpha )$ 的公式一样，这些公式并不经常有用，但同样重要的是能够自己推导出它们。

练习：正切的多倍角公式 自己推导出 $\tan(2x)$ 和 $\tan(3x)$ 的公式。 如果你没有得到“正确答案”，不要惊慌。要熟练掌握代数运算需要时间和练习。在这里，你知道正确答案，你可以仔细检查自己的步骤，尝试自己找出错误的地方。很多时候，错误是由于符号错误，比如加了一个值而不是减去它，然后从那一点开始所有内容都是错的。你可以用这个技巧，为 $x$ 填入实际值（并使用计算器计算），检查第一个错误出现的那个位置。