三角学/三角公式记忆

记忆公式

此页面介绍如何记忆三角公式，不仅仅是三角公式的总结。

你需要阅读本书的大部分内容，才能使此页面对你有所帮助。

蓝框公式

在任何三角形中，角
总和为 $180^{\circ }$

---

在直角三角形中
斜边的平方
等于
另外两边的平方和。

---

$Soh-Cah-Toa$

$\displaystyle {\begin{array}{ccc}\sin(A)&=&\displaystyle {\frac {\text{opposite side}}{\rm {hypotenuse}}}\\\\\cos(A)&=&\displaystyle {\frac {\text{adjacent side}}{\rm {hypotenuse}}}\\\\\tan(A)&=&\displaystyle {\frac {\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}}\end{array}}$

关于检查和记忆公式的技巧

此页面包含一些三角恒等式，但并非所有三角恒等式。它不可能包含所有恒等式。除了'倍角'的三角恒等式，例如

$\cos(2t)=\cos ^{2}(t)-\sin ^{2}(t)$

还有三倍角、四倍角等的三角恒等式。我们不可能列出所有恒等式。此外，同一个公式可以以不同的形式表示，正如我们将在下面看到的那样。

学习一些三角恒等式并了解如何快速、轻松地从一个三角恒等式推导出另一个恒等式非常有用。

检查公式

能够检查你得到的公式是否有意义也非常重要。我们知道$\cos(0^{\circ })=1$ 。如果你的$\cos(2t)$ 公式在$t=0$ 时没有得到答案 1，那么它就是错误的！但不要就此止步。你可以找出出错的地方，从而避免再次犯同样的错误。你该怎么做呢？

如果你用 $\cos(A+B)$ 的公式推导出 $\cos(2t)$ 的公式，你需要检查你所采取的步骤。如果错误不明显，尝试将 $A=0$ 和 $B=0$ 代入。在快速处理方程式时，很容易出现符号错误，例如将加号写成减号。只有通过练习，你才能既快速又准确地完成它。

基于勾股定理的恒等式

一些最基本的三角恒等式是从 勾股定理 推导出来的。这些是使用直角三角形定义的

直角三角形

在这个阶段，勾股定理对你来说应该已经很熟悉了。如果你还没有学习它，现在就开始学习吧。

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$a$ 和 $b$ 当然分别是直角边或邻边和对边，而 $c$ 是斜边，最长的边，不包含直角的边。此公式仅适用于直角三角形。如果图中显示为直角的角是钝角，大于直角，那么 $c^{2}$ 将大于勾股和。如果图中显示为直角的角小于直角，那么 $c^{2}$ 将小于 $a^{2}+b^{2}$ 。

勾股定理用正弦和余弦表示

勾股定理等同于

$\sin ^{2}(A)+\cos ^{2}(A)=1$

我们从本书前面介绍 ${\rm {sine}}$ 和 ${\rm {cosine}}$ 的地方知道的。

• 当斜边为1时， ${\rm {cosine}}$ 是邻边。
• 当斜边为1时， ${\rm {sine}}$ 是对边。

$\sin ^{2}(A)+\cos ^{2}(A)=1$ 这个恒等式对你来说也应该很熟悉，但你应该也能从勾股关系推导出它。

我们可以从一个斜边为 'c' 而不是 1 的直角三角形中看出这是真的。用 $c^{2}$ 除以毕达哥拉斯定理得到：

$\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {c}{c}}\right)^{2}=1$

我们已经从 soh-cah-toa 中看到，A 的正弦值为 $\left({\frac {a}{c}}\right)$，而 A 的余弦值为 $\left({\frac {b}{c}}\right)$。

基于加法公式的恒等式

我们之前已经看到了加法公式。

字母是任意的

这些方程式中的字母 $A$ 和 $B\,$ 是任意的。我们也可以用 $\omega$ 和 $\theta$ 来表示。我们指出这一点是因为我们碰巧在这个页面上有一个图，其中包含角度 $A$、$B$ 和 $C$，我们希望明确指出这些是针对毕达哥拉斯定理的，我们不再讨论该图。在这些方程式中，你也可以始终代入实际值，例如用 $\pi$ 替换 $A$，它们仍然是正确的。或者你可以用 $2t$ 或 $\pi -t$ 替换 $A$，它们仍然是正确的。

加法公式

余弦的加法公式为：

$\cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)$

值得学习。但不要学习下一个公式。

'减法' 公式

$\cos(A-B)=\cos(A)\cos(B)+\sin(A)\sin(B)$

学习第二个公式需要额外努力，实际上并不能带来什么实质性的益处。你可以通过在第一个等式中用 $-B$ 替换 $B$ 来立即得到它。等式右边唯一改变的是包含 $B$ 的项。 $\cos(B)$ 不变，因为 $\cos(-B)=\cos(B)$ 。第二个项前的负号改变了，因为 $\sin(-B)=-\sin(B)$ 。

检查'减法'公式

现在做一个简单的检查。如果 $A=B$ ，那么 $cos(A-B)$ 是 $\cos(0)$ ，也就是1，对吧？而等式右边我们有 $\cos ^{2}(A)+\sin ^{2}(A)$ ，它也是1。看起来不错。

这样记忆更好，因为你做的死记硬背更少，而且对代数更加熟练。

倍角公式

在加法公式中将B设为A，你就可以立即得到下一个公式。这是一个倍角公式。

$\cos(2A)=\cos ^{2}(A)-\sin ^{2}(A)$

半角公式

在前面的结果中用 ${\frac {A}{2}}$ 替换A，你就会得到半角公式。

$\cos(A)=\cos ^{2}{\bigl (}{\tfrac {A}{2}}{\bigr )}-\sin ^{2}{\bigl (}{\tfrac {A}{2}}{\bigr )}$

Cos^2A=\2cos^2A-1

两个平移的余弦函数之和

对于下一个公式，你可以直接进行代数运算...

$\cos(x+\theta )+\cos(x-\theta )=\dots$

同相和异相的波

在我们进行运算之前，注意我们正在添加两个余弦波，第一个向左平移，第二个向右平移。我们之前在观察同相和异相波时已经见过这种情况。我们将得到另一个正弦波。表达式相当对称，实际上我们可以很快证明该表达式给出了一个偶函数，即 $-x$ 的值与 $x$ 的值相同 

$\cos(-x+\theta )+\cos(-x-\theta )=$ 使用 $\cos(x)=\cos(-x)$ 我们得到

$\cos(x-\theta )+\cos(x+\theta )=$ 现在交换两个项

$\cos(x+\theta )+\cos(x-\theta )$ 这是原始表达式。

通过练习，你将能够立即看到这些步骤以及表达式是一个偶函数。

一个正弦波是偶函数——嗯，它基于余弦函数。我们预计公式将简化为类似于

$A\cos(x)$

其中 $A$ 将取决于 $\theta$.

检验值

当 $\theta =0^{\circ }$（在原始公式中尝试一下）我们预计 A 为 2。当 $\theta =90^{\circ }$ 我们预计 A 为 0，因为两个余弦波是 $180^{\circ }$ 异相。所以现在进行代数运算

$\cos(x+\theta )+\cos(x-\theta )=$

$\cos(x)\cos(\theta )-\sin(x)\sin(\theta )+\cos(x)\cos(-\theta )-\sin(x)\sin(-\theta )=$

$\cos(x)\cos(\theta )-\sin(x)\sin(\theta )+\cos(x)\cos(\theta )+\sin(x)\sin(\theta )=$

$\cos(x)\cos(\theta )+\cos(x)\cos(\theta )=$

$2\cos(\theta )\cos(x)$

为了验证，我们尝试使用 $\theta =0^{\circ }$，得到 $2\cos(x)$，我们也尝试使用 $\theta =90^{\circ }$，得到 $0\times \cos(x)$，如我们所料。

对结果有一个大致的预期，可以让我们更容易地进行代数运算。我们知道最终目标是什么，也知道我们不会得到四个独立的项，其中一些项必须相互抵消或以其他方式组合。

基于正弦和余弦规则的恒等式

${\frac {a}{\sin(A)}}={\frac {b}{\sin(B)}}={\frac {c}{\sin(C)}}$ .

这个公式很容易记忆，因为它非常对称。你甚至不需要记住比率的正反关系，因为这个公式对它们都适用

${\frac {\sin(A)}{a}}={\frac {\sin(B)}{b}}={\frac {\sin(C)}{c}}$ .

你需要记住的是三角形的标记方式，以便公式成立。

对于余弦定律公式

$a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\theta )=c^{2}$

最好将其视为勾股定理的更一般形式。a 和 b 必须处于平等的地位，因此 ab 作为乘数是合理的。

如果你熟悉物理学中的“单位”，那么请使用单位必须匹配的事实。数量 $a,b,c$ 是长度的测量值。将 $a^{2}$ 加到 $-2(a+b)\cos(\theta )$ 是没有意义的。一个是 Km² 单位，另一个是 Km 单位。将 $a^{2}$ 加到 $-2ab\cos(\theta )$，单位，例如：Km²，是匹配的。

更详细地说，对于 $-2ab\cos(\theta )$ 必须是负号。这是因为对于 $\theta <90^{\circ }$ 我们需要 $c^{2}$ 小于勾股定理。

如何记住并确保 2 是正确的？想一个等边三角形，每边长为 1。角度 $\theta =60^{\circ }$ 且 $\cos(60^{\circ })=0.5$ 。我们需要 2 来得到正确的答案 1 + 1 + 2x1x1x0.5 = 1。

比率恒等式

$\tan(A)={\frac {\sin(A)}{\cos(A)}}$

这是 tan 的一个定义，也是你应该学习的东西。

基于对称性的恒等式

这些对称恒等式最好通过记住这些函数的图形来记住。如果你不记得它们，请再看一下图形。

$0,{\frac {\pi }{2}},\pi ,{\frac {3\pi }{2}},2\pi$ 是正弦和余弦图形上的地标，你应该知道这两个函数在这些地标上发生什么。当你有了这些知识，下面的对称恒等式就很容易写下来，因为你可以直观地看到它们。

左移

$\cos(\pi +A)=-\cos(A)\quad \sin(\pi +A)=-\sin(A)\quad \tan(\pi +A)=\tan(A)$

上面的恒等式被可视化为将图形向左移动 $\pi$ 。这是一个半周期，余弦和正弦都改变符号 - 因此 tan 不改变符号，因为当它被表示为正弦除以余弦的比率时，顶部和底部都改变符号。

关于 $x={\frac {\pi }{2}}$ 的反射

$\cos(\pi -A)=-\cos(A)\quad \sin(\pi -A)=\sin(A)\quad \tan(\pi -A)=-\tan(A)$

在上面，我们关于垂直线 $x={\frac {\pi }{2}}$ 对图形进行了反射。花足够的时间在图形上观察这一点，以确保这是真的。记住这个技巧来记住发生了什么很重要。

现在，正弦函数在 $x={\frac {\pi }{2}}$ 处有一个最大值（它等于 1），并且它关于该 x 值是对称的，所以 $\sin(\pi -A)=\sin(A)$。余弦函数在 $x={\frac {\pi }{2}}$ 处等于 0。将余弦函数关于直线 $x={\frac {\pi }{2}}$ 反射会反转符号。 $\cos(\pi -A)=-\cos(A)$

余角恒等式

$\cos(A)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)$

$\sin(A)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)$

上面两个公式最容易从余弦和正弦的直角三角形定义中看出。这种三角形中的两个锐角加起来等于 ${\frac {\pi }{2}}$，而我们只是根据另一个角度的三角函数给出边长比率。

$\cos(A)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}+A\right)$

$\sin(A)=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}+A\right)$

这两个公式与前面的公式“相同”。我们分两步得到它们。首先从右手边的角度中减去 pi，这反转了符号，然后反转符号以进行补偿。接下来反转右手边的角度的符号。对于右手边的余弦，我们完成了。对于右手边的正弦，我们必须反转它的符号，因为反转角度的符号改变了结果的符号。

是的，跟踪符号很棘手，并且总是需要小心。