三角学/记住三角公式

记住公式

此页面是关于如何记住三角公式 - 所以它不仅仅是三角公式的摘要。

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蓝框公式

在任何三角形中，角度
总和为 $180^{\circ }$

---

在直角三角形中
斜边的平方
等于
另外两边的平方和。

---

$Soh-Cah-Toa$

$\displaystyle {\begin{array}{ccc}\sin(A)&=&\displaystyle {\frac {\text{opposite side}}{\rm {hypotenuse}}}\\\\\cos(A)&=&\displaystyle {\frac {\text{adjacent side}}{\rm {hypotenuse}}}\\\\\tan(A)&=&\displaystyle {\frac {\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}}\end{array}}$

检查和记住公式的技巧

此页面包含一些三角恒等式。它不包含所有三角恒等式。它不可能包含所有。除了'二倍角'的三角恒等式，例如

$\cos(2t)=\cos ^{2}(t)-\sin ^{2}(t)$

还存在三倍角、四倍角等的三角恒等式。我们不可能全部列出它们。同样，同一个公式可以用不同的形式表示，正如我们将在下面看到的那样。

学习一些三角恒等式并知道如何快速轻松地从另一个三角恒等式推导出一个三角恒等式是有用的。

检查公式

确保你推导出的公式合理也是非常重要的。我们知道 $\cos(0^{\circ })=1$。如果你对 $\cos(2t)$ 的公式在 $t=0$ 时得不到 1，那么这个公式就是错误的！但不要就此止步。你可以找出错误之处，避免以后再犯同样的错误。怎么做呢？

如果你从 $\cos(A+B)$ 的公式推导出 $\cos(2t)$ 的公式，你需要检查你的步骤。如果错误不明显，尝试将 $A=0$ 和 $B=0$ 代入。在快速处理方程式时，很容易把符号弄错，把加号写成减号。只有通过练习，你才能既快又准。

基于勾股定理的恒等式

一些最基本的三角恒等式是从勾股定理推导出来的。这些恒等式使用直角三角形定义

直角三角形

在本课程阶段，勾股定理应该已经成为你的第二天性。如果你还没有学习它，现在就开始学习吧。

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$a$ 和 $b$ 当然是两条直角边，也就是邻边和对边，而 $c$ 是斜边，最长的边，不包含直角的边。这个公式只适用于直角三角形。如果图中显示为直角的角是钝角，大于直角，那么 $c^{2}$ 会大于勾股和。如果图中显示为直角的角小于直角，那么 $c^{2}$ 会小于 $a^{2}+b^{2}$。

勾股定理用正弦和余弦表示

勾股定理等同于

$\sin ^{2}(A)+\cos ^{2}(A)=1$

我们从书中前面介绍${\rm {sine}}$ 和 ${\rm {cosine}}$ 的地方知道的。

• 当斜边为 1 时，${\rm {cosine}}$ 是邻边。
• 当斜边为 1 时，${\rm {sine}}$ 是对边。

$\sin ^{2}(A)+\cos ^{2}(A)=1$ 这个恒等式也应该很熟悉，但你应该也能够从勾股定理推导出它。

我们可以从一个斜边为 'c' 而不是 1 的直角三角形中看出它是正确的。将勾股定理除以 $c^{2}$ ，我们得到

$\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {c}{c}}\right)^{2}=1$

我们已经从 soh-cah-toa 中看到，A 的正弦是 $\left({\frac {a}{c}}\right)$ ，A 的余弦是 $\left({\frac {b}{c}}\right)$ 。

基于加法公式的恒等式

我们之前看到了加法公式。

字母是任意的

这些等式中的字母$A$ 和 $B\,$ 是任意的。我们同样可以使用 $\omega$ 和 $\theta$。我们之所以要指出这一点，是因为我们在本页上恰好有一个包含角度 $A$、$B$ 和 $C$ 的图，我们希望明确表示这是针对毕达哥拉斯的，我们不再讨论该图。在这些等式中，你也可以始终用实际值替换，例如用 $\pi$ 替换 $A$，它们仍然是正确的。或者你可以用 $2t$ 或 $\pi -t$ 替换 $A$，它们仍然是正确的。

加法公式

余弦的加法公式为

$\cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)$

值得学习。但是不要学习下一个公式

'减法' 公式

$\cos(A-B)=\cos(A)\cos(B)+\sin(A)\sin(B)$

学习第二个公式会额外花费精力，而不会真正给你带来任何收益。你可以通过在第一个公式中用 $-B$ 替换 $B$ 来立即得到它。右侧唯一会改变的是包含 $B$ 的项。因为 $\cos(-B)=\cos(B)$，$\cos(B)$ 保持不变。因为 $\sin(-B)=-\sin(B)$，第二项之前的减号会改变。

检查'减法' 公式

现在做一个快速检查。如果 $A=B$ 那么 $cos(A-B)$ 是 $\cos(0)$ ，也就是 1，对吧？而右边我们有 $\cos ^{2}(A)+\sin ^{2}(A)$ ，它也是 1。看起来不错。

用这种方式记忆要好得多，因为你做的死记硬背更少，而且对代数的掌握也更熟练。

倍角公式

通过在加法公式中将 B 设为 A，你可以立即得到下一个公式。这是一个倍角公式。

$\cos(2A)=\cos ^{2}(A)-\sin ^{2}(A)$

半角公式

将 A 替换为 ${\frac {A}{2}}$ 在前面的结果中，你得到半角公式。

$\cos(A)=\cos ^{2}{\bigl (}{\tfrac {A}{2}}{\bigr )}-\sin ^{2}{\bigl (}{\tfrac {A}{2}}{\bigr )}$

Cos^2A=\2cos^2A-1

两个平移余弦的和

对于下一个公式，你可以直接进行代数运算......

$\cos(x+\theta )+\cos(x-\theta )=\dots$

同相和异相波

在我们进行之前，请注意，我们正在添加两个余弦波，第一个向左平移，第二个向右平移。当我们查看同相和异相波时，我们之前已经见过这种情况。我们将得到另一个正弦波。表达式相当对称，实际上我们可以快速证明表达式给出了一个偶函数，也就是说，$-x$ 的值与 $x$ 一样。

$\cos(-x+\theta )+\cos(-x-\theta )=$ 使用 $\cos(x)=\cos(-x)$ ，我们得到

$\cos(x-\theta )+\cos(x+\theta )=$ 现在交换这两个项

$\cos(x+\theta )+\cos(x-\theta )$，这是原始表达式。

通过练习，你会能够立即看到这些步骤，并且表达式是一个偶函数。

一个偶函数的正弦波——它基于余弦。我们预计公式将简化为类似于

$A\cos(x)$

其中 $A$ 将取决于 $\theta$。

要检查的值

当 $\theta =0^{\circ }$（在原始公式中尝试一下）时，我们预计 A 为 2。当 $\theta =90^{\circ }$ 时，我们预计 A 为 0，因为两个余弦波相差 $180^{\circ }$。所以现在要进行代数运算

$\cos(x+\theta )+\cos(x-\theta )=$

$\cos(x)\cos(\theta )-\sin(x)\sin(\theta )+\cos(x)\cos(-\theta )-\sin(x)\sin(-\theta )=$

$\cos(x)\cos(\theta )-\sin(x)\sin(\theta )+\cos(x)\cos(\theta )+\sin(x)\sin(\theta )=$

$\cos(x)\cos(\theta )+\cos(x)\cos(\theta )=$

$2\cos(\theta )\cos(x)$

为了验证，我们尝试使用 $\theta =0^{\circ }$ 并得到 $2\cos(x)$，我们也使用 $\theta =90^{\circ }$ 并得到 $0\times \cos(x)$，正如我们期望的。

了解大致的期望值使我们更容易得到正确的代数步骤。我们知道要去哪里。我们知道我们不会得到四个独立的项，其中一些必须抵消或以其他方式组合。

基于正弦和余弦规则的恒等式

${\frac {a}{\sin(A)}}={\frac {b}{\sin(B)}}={\frac {c}{\sin(C)}}$ .

这个公式很容易记住，因为它非常对称。你甚至不需要记住比率的正反，因为这个公式也同样成立。

${\frac {\sin(A)}{a}}={\frac {\sin(B)}{b}}={\frac {\sin(C)}{c}}$ .

你需要记住的是三角形的标记方式，才能保证公式成立。

关于余弦定理公式：

$a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\theta )=c^{2}$

最好把它理解为勾股定理的更一般形式。a 和 b 必须处于平等的地位，所以 ab 作为乘数是合理的。

如果你熟悉物理学中的“单位”，那么使用单位必须匹配这一事实。数量 $a,b,c$ 是长度的测量值。将 $a^{2}$ 加到 $-2(a+b)\cos(\theta )$ 是没有意义的，因为它们可能分别具有 Km² 和 Km 的单位。将 $a^{2}$ 加到 $-2ab\cos(\theta )$ 时，单位（例如：Km²）是匹配的。

更详细地说，$-2ab\cos(\theta )$ 必须是负数。这是因为对于 $\theta <90^{\circ }$，我们需要 $c^{2}$ 小于勾股定理中的结果。

如何记住并确定 2 是正确的？考虑一个等边三角形，每条边长为 1。角度 $\theta =60^{\circ }$ 且 $\cos(60^{\circ })=0.5$。我们需要 2 来得到正确的结果 1 + 1 + 2x1x1x0.5 = 1。

比率恒等式

$\tan(A)={\frac {\sin(A)}{\cos(A)}}$

这是 tan 的一种定义，你需要牢记这一点。

基于对称性的恒等式

这些对称恒等式最好通过记住这些函数的图形来记忆。如果你不记得它们，请再看一下图形。

$0,{\frac {\pi }{2}},\pi ,{\frac {3\pi }{2}},2\pi$ 是正弦和余弦图形上的标志点，你应该知道这两个函数在这几个标志点上的值。有了这些知识，下面的对称恒等式就很容易写出来了，因为你可以直观地看到它们。

左移

$\cos(\pi +A)=-\cos(A)\quad \sin(\pi +A)=-\sin(A)\quad \tan(\pi +A)=\tan(A)$

上面的恒等式可以看作是将图形向左移动 $\pi$ 。这是一个半周期，余弦和正弦都改变符号 - 因此正切不改变符号，因为当它表示为正弦除以余弦的比率时，分子和分母都改变了符号。

关于 $x={\frac {\pi }{2}}$ 对称

$\cos(\pi -A)=-\cos(A)\quad \sin(\pi -A)=\sin(A)\quad \tan(\pi -A)=-\tan(A)$

在上面的例子中，我们关于垂直线 $x={\frac {\pi }{2}}$ 反射图形。花足够的时间在图形上观察这一点，以了解它是如何成立的。记住这个技巧以记住发生了什么非常重要。

现在正弦函数在 $x={\frac {\pi }{2}}$ 处取得最大值（值为 1），并且关于该 x 值对称，所以 $\sin(\pi -A)=\sin(A)$ 。余弦函数在 $x={\frac {\pi }{2}}$ 处为零。将余弦函数关于直线 $x={\frac {\pi }{2}}$ 反射，会改变符号。 $\cos(\pi -A)=-\cos(A)$

余角恒等式

$\cos(A)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)$

$\sin(A)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)$

以上两个公式最容易从余弦和正弦的直角三角形定义中理解。直角三角形中两个锐角之和为 ${\frac {\pi }{2}}$ ，我们只是用不同角度的三角函数表示边的长度比。

$\cos(A)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}+A\right)$

$\sin(A)=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}+A\right)$

这两个公式与之前的公式“相同”。我们可以通过两个步骤得到它们。首先，从右边的角度减去 pi，这会反转符号，然后反转符号以进行补偿。接下来，反转右边的角度的符号。对于右边的余弦函数，我们已经完成了。对于右边的正弦函数，由于反转角度的符号改变了结果的符号，因此我们必须反转它的符号。

是的，跟踪符号很棘手，总是需要小心。