使用算盘/现代乘法

在进行更深入的乘法运算之前，您应该掌握加减法的基本技能。否则您会感到很沮丧。

介绍

自然数乘法的基本概念是重复加法。

$a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a{\text{ times}}}$

例如，要将 47 乘以 23，只需将 23 加 47 次，或者将 47 加 23 次；我们可以用我们的算盘来做。

乘法作为重复加法
算盘	评论
ABCDEFHIJ
. . .	单位杆
+1 +47	将 1 加到 C 和 47 加到 IJ
1 47
+1 +47	将 1 加到 C 和 47 加到 IJ
2 94
+1 +47	将 1 加到 C 和 47 加到 IJ
3 141
...	以相同的方式继续 19 次...！
22 1034
+1 +47	将 1 加到 C 和 47 加到 IJ
23 1081	结束。23×47=1081
. . .	单位杆

我们重复将 23 加到 **IJ** 列 23 次，同时将 1 加到 **C** 以便有一个可用的“计数器”。但这太慢了！一种更有效的方法是以下方法

更有效的乘法
算盘	评论
ABCDEFHIJ
. . .	单位杆
+1 +47	将 1 加到 C 和 47 加到 IJ
1 47
+1 +47	将 1 加到 C 和 47 加到 IJ
2 94
+1 +47	将 1 加到 C 和 47 加到 IJ
3 141
+1 +47	将 1 加到 B 和 47 加到 HI
13 511
+1 +47	将 1 加到 B 和 47 加到 HI
23 1081	结束。23×47=1081
. . .	单位杆

这一次，在将 47 加到 **IJ** 三次（并将 1 加到 **C**）之后，我们将一位移到左边，开始将 47 加到 **HI** 列（并将 1 加到 **B**）。将 47 加到 **HI** 等同于将 470 = 10×47 加到 **HIJ**（将 10 加到 **BC**），从而大大减少了需要执行的操作次数，因为我们只执行了两次，计数器 **BC** 就达到了 23，**GHIJ** 就达到了 1081，即最终结果。这种乘法方式是 19 世纪末出现的机械计算器中常用的方式，并一直使用到 20 世纪 70 年代。但这仍然过慢。

想想我们现在所知的算盘可以非常快速地进行加法，但在算盘发明之前，中国数学家使用算筹，算筹的操作速度非常慢。因此，中国数学家为了简化计算，最终在公元前几个世纪发明了我们所知的十进制乘法表。

乘法表

这就是我们在学校里学习的十进制乘法表

十进制乘法表
×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

但生活在电脑时代，我们很有可能很快就会开始使用电子计算器，成年后我们很少会手工进行乘法。许多人，甚至包括数学家，往往都没有将乘法表“牢记”在心，这对您来说可能是个坏消息：如果您想用算盘有效地进行乘法（和除法），您必须将乘法表重新记入您的脑海！

使用乘法表，我们可以将乘法问题 $47\times 23$ 表示为

$47\times 23=(40+7)\times (20+3)=$

$=40\times 20+40\times 3+7\times 20+7\times 3=$

$=(4\times 2)\times 100+(4\times 3)\times 10+(7\times 2)\times 10+(7\times 3)$

例如，我们只需要检索部分积： $(4\times 2)=8,(4\times 3)=12,(7\times 2)=14,(7\times 3)=21$ 从乘法表中，并按笔算方法在正确的位置上将它们加起来。

   47
  ×23
-----
   21
  12   (×10)
  14   (×10)
+ 8    (×100)
-----
 1081

这与我们在算盘上要采用的乘法方法完全一致。

现代乘法方法

当我们乘以两个数字 $a$ 和 $b$ 时，我们将这两个数字都称为因数，将结果 $a\times b$ 称为积，但也常将其中一个因数称为被乘数，另一个因数称为乘数。然而，当涉及到用算盘进行乘法时

被乘数: 它是我们将在算盘上进行操作的数字，它将指导我们以有序的方式获得部分积，并在正确的位置上对它们进行对齐，以便在正确的位置上进行加法。
乘数: 它是我们不会在算盘上操作的因数。事实上，它甚至不是必须输入的（但它很方便）。它通常是两个因数中位数较少的那个。

乘法排列

在算盘上输入这两个因数有两种方法，实际上可以认为是等效的；每种方法都有其自身的优缺点。关于我们在下一章将要学习的除法，也可以说同样的话。请随意尝试这两种排列方式。

传统中式排列

被乘数位于算盘的左侧，乘数离被乘数足够远。至少要留出与乘数的位数一样多的列，再加上两列，最好是三列。

示例

传统中式排列
被乘数：345，乘数：67
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L	M

3	4	5									6	7

或者用表格形式

传统中式排列
被乘数：345，乘数：67
算盘	评论
ABCDEFGHIJKLM
345 67

传统日式排列

这是反向方式。乘数在左侧，被乘数在右侧，中间留出至少两列空列。我们需要在乘数右侧至少留出与乘数位数一样多的空列，再加上一列。

传统日式排列
被乘数：345，乘数：67
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L	M

6	7			3	4	5

或者用表格形式

传统日式排列
被乘数：345，乘数：67
算盘	评论
ABCDEFGHIJKLM
67 345

这是在日本最受欢迎的形式^[1]，最终也被引入到中国。这也是我们将在本书中使用的形式。

一位数×一位数的乘法

当然，这太简单了，我们不需要算盘，但它可以用来介绍其余的例子。假设我们要乘以 $7\times 8$ ，我们将 7 作为乘数，8 作为被乘数，并采用刚刚解释过的日式排列方式；也就是说，我们从

**7×8=56**
A	B	C	D	E	F	G

7			8

7×8=56
算盘	评论
ABCDEFG
7 8	设置问题
+56	将D×A 乘以并将其加到EF
7 856
7 856	清除D
7 56	结果：7×8=56

**最终结果**
A	B	C	D	E	F	G

7				5	6

是的，你说得对；是你做了乘法，不是算盘。在下面的例子中，算盘开始显示出它的用处。

一位数×两位数的乘法

让我们乘以 $7\times 83$ ，被乘数将是 83。

**7×83**
A	B	C	D	E	F	G	H

7			8	3

7×83
算盘	评论
ABCDEFGH
7 83	设置问题
+21	将E 乘以A 并将其加到FG
7 8321
7 8321	清除E
7 8 21
+56	将D 乘以A 并将其加到EF
7 8581
7 8581	清除D
7 581	结果：7×83=581

**7×83 结果**
A	B	C	D	E	F	G	H

7				5	8	1

至少，算盘可以用来在FG 和EF 中将两个部分积加起来。

两位数×两位数的乘法

现在，让我们乘以 $79\times 83$ .

**79×83**
A	B	C	D	E	F	G	H	I

7	9			8	3

标题文字
算盘	评论
ABCDEFGHI
79 83	设置问题
+21	将F 乘以A 并将其加到GH
+27	将F 乘以B 并将其加到HI
79 83237
79 83237	清除F
79 8 237
+56	将E 乘以A 并将其加到FG
+72	将E 乘以B 并将其加到GH
79 86557
79 86557	清除E
79 6557	结果：79×83=6557

**79×83 结果**
A	B	C	D	E	F	G	H	I

7	9				6	5	5	7

多位数乘法

概括之前示例中看到的內容

对于被乘数的每一位，从右边开始

将被乘数的当前位与乘数的各位相乘（从左到右），将第一个部分积加到被乘数的当前位的右侧两列，并将其余的积通过每次向右移动一列来依次添加。
清除当前被乘数的位。

让我们用以下示例来观察： $799\times 835=667165$

**799×835**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L

7	9	9			8	3	5

799×835
算盘	评论
ABCDEFGHIJKL
799 835	设置问题
+35	将H乘以A，并将结果加到IJ
+45	将H乘以B，并将结果加到JK
+45	将H乘以C，并将结果加到KL
799 8353995
799 8353995	清除H
799 83 3995
+21	将G乘以A，并将结果加到HI
+27	将G乘以B，并将结果加到IJ
+27	将G乘以C，并将结果加到JK
799 8327965
799 8327965	清除G
799 8 27965
+56	将F 乘以A 并将其加到GH
+72	将F 乘以B 并将其加到HI
+72	将F乘以C，并将结果加到IJ
799 8667165
799 8667165	清除F
799 667165	结果：799×835=667165

**799×835 结果**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L

7	9	9				6	6	7	1	6	5

嵌入零

**3075×2707**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L	M	N	O

3	0	7	5			2	7	0	7

3075×2707
算盘	评论
ABCDEFGHIJKLMNO
3075 2707	设置问题
+21	将JxA相乘，并将结果加到KL
+49	将JxC相乘，并将结果加到MN!
+35	将JxD相乘，并将结果加到NO
3075 270721525
3075 270721525	清除J
3075 27 21525
+21	将HxA相乘，并将结果加到IJ
+49	将HxC相乘，并将结果加到KL!
+35	将HxD相乘，并将结果加到LM
3075 272174025
3075 272174025	清除H
3075 2 2174025
+06	将GxA相乘，并将结果加到HI
+14	将GxC相乘，并将结果加到JK!
+10	将GxD相乘，并将结果加到KL
3075 2 8324025
3075 2 8324025	清除G
3075 8324025	结果：3075×2707=8324025

**3075×2707 结果**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L	M	N	O

3	0	7	5					8	3	2	4	0	2	5

个位杆和小数

请回顾所有已看到的示例，并检查在所有情况下

积的个位所在的列位于被乘数的个位所在的列右侧

n+1

列，其中

n

是乘数的位数。

这是我们正在研究的现代乘法方法中自然数乘法的普遍规律。记住这条规则很方便，因为积的末尾可能有零，例如 $32\times 1625=52000$ ；这可能会让你感到困惑。例如

**32×1625**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L

3	2			1	6	2	5u

在上图中，被乘数的个位杆是H列（用条形上的白色圆点表示）。乘法完成后，算盘显示

**32×1625 结果：52000**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L

3	2					5	2	0	0	0u

你需要知道结果的个位杆位于H右侧 $n+1=2+1=3$ 杆处（即在J处），才能正确读取结果52000。

我们可以将这条规则扩展到十进制数

积的个位所在的列位于被乘数的个位所在的列右侧

n+1

列，其中

n

是乘数的位数在小数点左侧（可能为负数！）。

下表显示了一些乘数的 $n$ 值


乘数	n
32.7	2
3.27	1
0.327	0
0.00327	-2

让我们将 $0.0032\times 16.25$ 相乘；被乘数的个位杆是F。

**0.0032×16.25**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L

3	2			1	6	2	5

对于乘数 $0.0032$ ，我们有 $n=-2$

**0.0032×16.25 结果：0.052**
A	B	C	D	E	F	G	H	I	K	J	L

3	2			0	0	5	2

因此，积的个位杆位于F右侧 $n+1=-2+1=-1$ 杆处，即F左侧一杆（E），结果应读作 $0.052$ .

参考资料

↑ Kojima, Takashi (1954), 日本算盘：其使用与理论, 东京：Charles E. Tuttle Co., Inc., ISBN 978-0-8048-0278-9

外部链接

练习题

Uitti, Stephen. "算盘练习题（乘法）". 算盘. {{cite web}}: 未知参数 |accesdate= 被忽略 (|access-date= 建议) (帮助)
"算盘生成器". 算盘练习. {{cite web}}: 未知参数 |accesdate= 被忽略 (|access-date= 建议) (帮助)

进一步阅读

Kojima, Takashi (1954), "乘法", 日本算盘：其使用与理论, 东京：Charles E. Tuttle Co., Inc., ISBN 978-0-8048-0278-9
Heffelfinger, Totton (2004). "乘法". 算盘：珠子的秘密. Archived from the original on June 29, 2021. {{cite web}}: 未知参数 |accesdate= 被忽略 (|access-date= 建议) (帮助)

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[1] Kojima, Takashi (1954), 日本算盘：其使用与理论, 东京：Charles E. Tuttle Co., Inc., ISBN 978-0-8048-0278-9

[1]