吠陀数学/技巧/加减法

吠陀数学
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简介

除了计数外，加法可能是最基本的数学运算。因此，提高其效率的技术相对较少，现有的技术基本上是组织计算的方法，使它更容易在脑中进行运算。减法类似，但在这个例子中，还有一些技巧可以帮助借位过程，与加法不同的是，借位过程可能跨越多个数字。毫无疑问，你已经直觉地使用了这里描述的大多数加减法技巧，而没有思考它们，许多技巧似乎过于基础，不值得解释，但即使只是为了让你意识到你可能已经在使用可以扩展以提高你的算术能力的技巧，也值得重申它们。

记忆与计算

算术的基本事实是，你记忆得越多，你计算得就越少。你学习数字的第一件事是如何计数。你可以把它看作是将任何数字加一的的能力，例如 0+1=1，4+1=5，7+1=8，9+1=10，10+1=11，19+1=20，56+1=57。你本能地知道这些和的答案，它们是从很小的时候就开始记忆的，通过反复从 1 计数到 100。

一旦你学会了计数，你就会学会通过计数来加法，也就是说，反复加一（一开始通常用手指）。实际上，加法被隐式地定义为反复加一，例如

• 加 6 + 3

 ${\begin{aligned}6+3&=6+1+1+1\\&=7+1+1\\&=8+1\\&=9\end{aligned}}$

不久之后，你就会记住添加较小数字的结果，这样你就不必再计数（用手指或其他方式！），以找到简单加法的答案。

这种模式不断重复出现。当学习新的算术运算时，你最初学习如何执行它，然后在练习之后，你倾向于记忆对最常见（通常是较小）数字的运算结果，这样你就不必实际执行运算来获得答案。这可能是第一个也是最基本的算术技巧，即 **记忆，你就不用计算**。

现在，很明显不可能记住所有可能的计算结果，但很明显，一定程度的记忆是必不可少的，而且，比最低要求多记忆一些会极大地提高许多计算的效率。在何处划定界限很难说，但以下将是一个很好的基本结果集需要记忆（我们大多数人很久以前就已经记住了这些结果）。

• 所有加起来不超过 10 的和。

 ${\begin{aligned}2+6&=?\\5+4&=?\\3+4&=?\\6+4&=?\\etc.\end{aligned}}$

• 所有组成 10 的数字组合。

 ${\begin{aligned}1+?&=10\\2+?&=10\\3+?&=10\\4+?&=10\\etc.\end{aligned}}$

仅仅记住以上内容，就可以通过划分和重新组织来计算任何两个一位数的和（见后文），但记住所有一对一位数的和，而不仅仅是那些不超过 10 的和，会节省很多时间。例如

• 所有一位数的和

 ${\begin{aligned}2+9&=?\\8+8&=?\\4+7&=?\\7+6&=?\\9+7&=?\\etc.\end{aligned}}$

注意，令人惊讶的是，有多少人没有记住上面的和。你可能认为你记住了它们，但仔细考虑；你是真的从记忆中找回了结果，还是通过划分和重新组织来算出来的？(例如，你知道 7+6=13，还是在想“它比 7+7 少一”，或者“它比 6+6 多一”。你真的知道 9+7=16，还是在想“9+7 等于 10+6”。

加法是可交换的

关于加法的第一个你要学习的事情之一是它是可交换的。也就是说，无论你是将 5 加到 6 还是将 6 加到 5，答案都是一样的，无论项的顺序如何。例如

 ${\begin{aligned}2+9&=9+2&=11\\4+15&=15+4&=19\\5+31&=31+5&=36\\7+53&=53+7&=60\\23+61&=61+23&=84\\etc.\\generally:\\a+b&=b+a\end{aligned}}$

这个概念被所有人潜意识地理解（例如，如果被要求做 3+54，你几乎肯定会想到 54+3，然后得出 57），但明确地说 **加法是可交换的** 这一点很重要，因为这条规则在许多加法算法中都很重要。(还应注意，其他数学运算符不可交换，例如 6-5 不 等于 5-6)。

加法是结合律的

加法的另一个最基本规律是它是结合律的。也就是说，如果你要执行多个加法，那么执行它们的顺序无关紧要。例如

 ${\begin{aligned}(2+9)+5&=2+(9+5)&=16\\(4+15)+7&=4+(15+7)&=26\\etc.\\generally:\\(a+b)+c&=a+(b+c)\end{aligned}}$

第一个技巧：扩展计数

在你记住如何计数后不久，你就会很快学会如何将任何数字加一，例如，你知道 8999+1=9000，即使你几乎肯定从未从 1 计数到 9000！注意，你执行此计算时不会正式添加数字并进位结果。例如，你不会这样做

 ${\begin{matrix}8&9&9&9&\\&&_{1}&1&+1\\\hline &&&0\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}8&9&9&9&\\&_{1}&&1&+1\\\hline &&0&0\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}8&9&9&9&\\_{1}&&&1&+1\\\hline &0&0&0\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}8&9&9&9&\\&&&1&+1\\\hline 9&0&0&0\end{matrix}}$

你而是本能地知道，当将 1 加到任何数字时，只有两种可能的结果。

1. 如果最后一个数字不是 9，那么答案就是这个数字的最后一个数字加 1。
2. 如果所有连续的最后一个数字都是 9，那么你就将这些 9 替换为零，并将 1 加到第一个不是 9 的数字（从右向左）。

减去 9

减去 9 非常容易。例如： 10-1=9 100-1=99

  Here, we observe that while subtracting 1 from 0's we net the answer is only as 9's

从 10 的幂减去

你将在乘法部分看到吠陀数学口诀 **纵向和横向** 用于乘以接近 10 的幂的数字（例如，10、100、1000 等）。该技巧的第一步是从最接近的 10 的幂减去你要处理的数字。幸运的是，另一个口诀可以帮助你进行这个初始减法。

**所有从 9 减，最后一个从 10 减** 告诉我们如何从下一个最高的 10 的幂减去一个数字；我们只需将要减去的数字的每个数字从 9 减去，除了最后一个，我们从 10 减去。就这么简单。例如

• 从 10000 减去 8675

${\begin{matrix}9&9&9&10\\8&6&7&5&-\\\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow \\1&3&2&5\end{matrix}}$

10000-8675=1325

你要减去的数字必须与你要减去的 10 的幂中零的个数一样多。如果你的数字的位数少于此，你必须用前导零填充该数字。例如

• 从 100000 减去 875

${\begin{matrix}9&9&9&9&10\\0&0&8&7&5&-\\\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow \\9&9&1&2&5\end{matrix}}$

100000-875=99125

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