吠陀数学/技术/乘法

吠陀数学
先前：加法和减法	乘法	接下来：除法

介绍

有各种各样的乘法技巧，也许大多数人最熟悉的是经典的长乘法算法，例如

        23958233
            5830 ×
    ------------
        00000000 (= 23,958,233 ×     0)
       71874699  (= 23,958,233 ×    30)
     191665864   (= 23,958,233 ×   800)
    119791165    (= 23,958,233 × 5,000)
    ------------
    139676498390 (= 139,676,498,390)

虽然此算法适用于任何一对数字，但它冗长，需要许多中间步骤，并且需要您记录每个中间步骤的结果，以便您在最后将它们加起来以产生最终答案。但是，当要乘的数字属于某些类别时，可以使用捷径来避免长乘法中涉及的大部分工作。有很多这样的“特殊情况”，其中一些允许看似复杂的乘法在脑海中完成，实际上可以让你直接写下答案。

乘法的特殊情况

当乘以某些数字时，可以使用许多简单的技巧。它们本身非常有用，但在与其他技巧结合使用时，它们甚至更有用，因为它们可以促进解决更困难的问题。

乘以 11

要将任何数字乘以 11，请执行以下操作
从右到左开始

写下起始数字的最右边一位。
将每对数字相加并将结果写下来（如果需要，将数字从右到左进位）。
最后写下最左边的数字（如果需要，加上最终的进位）。

就这么简单，例如

将 712 乘以 11

 ${\begin{matrix}&7&&1&&2\\&\swarrow \searrow &+&\swarrow \searrow &+&\swarrow \searrow \\7&&8&&3&&2\end{matrix}}$

712x11=7832

从右到左而不是更常见的从左到右的原因是为了能够添加进位。例如

将 8738 乘以 11

 ${\begin{matrix}&8&&7&&3&&8\\&\swarrow \searrow &+&\swarrow \searrow &+&\swarrow \searrow &+&\swarrow \searrow \\9&\leftarrow _{1}&6&\leftarrow _{1}&1&\leftarrow _{1}&1&&8\end{matrix}}$

8738x11=96118

乘以 15

将乘以 15 分解为乘以 10 加上乘以 5。乘以 10 只需在数字末尾加一个 0，乘以 5 是乘以 10 的一半，如上所述，例如 15 x 33 = [10 x 33] + [5 x 33] = 330 + [(10 x 33) / 2] = 330 + [330 / 2] = 330 + 165 = 495 这在你的脑海中做起来比写下来容易！例如，要将 15 乘以 27，你首先将 27 乘以 10，得到 270，然后“再加一半”，即 270 的一半是 135，将它加到 270 中得到 405，这就是你的答案。

两个一位数的乘法

虽然大多数人都记住了从 1x1 到 10x10 的乘法表，但吠陀经文之一（纵向和交叉）允许你将任何一对一位数相乘，而无需使用超过 5x 的乘法表。虽然这可能不是特别有用，但该算法很好地介绍了吠陀技巧背后的某些想法，因此值得花时间学习和理解，因为基本思想在后面得到了扩展。正因为如此，我将比它可能需要的更详细地介绍该过程。该技术如下

如果两个数字中有一个小于 6，则直接从记忆中回忆答案（你需要知道你的乘法表直到 5x，希望这不是什么大问题！）。如果两个数字都大于 5，则继续。
写下（或想象）两个一位数，一个在另一个上面，在它们下面画一条答案线。
从每个数字中减去 10，并将结果放在原始数字的右边。
纵向：将右边两个数字（前面步骤中减法的结果）相乘，并将答案放在答案线下的它们下方（这是答案的第一部分）。由于原始数字大于 5，因此这些数字将始终小于 5（因为原始数字是从 10 中减去的），因此你不需要使用超过 4x 的乘法表。如果乘法的结果大于或等于 10，则只在答案线上写下最右边一位数字，并记住将另一位数字进位到下一步。
交叉：选择一个原始数字（哪个都可以，答案都一样），并减去它对角线上的数字。如果前面步骤中没有进位，则直接在答案线上的原始数字下方写下结果；如果有进位，则在将结果写到答案线上之前将其加到结果中。

就是这样，答案线上的数字就是最终答案。该技术非常简单，但写下来一步一步地看就比实际要复杂得多。以下示例应阐明该过程。

将 8 乘以 6

按照上面步骤 1 到 3，将数字写下来，一个在另一个上面，从每个数字中减去 10，并将答案写在每个数字的右边

 ${\begin{matrix}8&\longrightarrow &2&(10-8=2)\\\\6&\longrightarrow &4&(10-6=4)\\\hline \quad \end{matrix}}$

现在，按照步骤 4（纵向），将右边两个数字相乘，并写下答案。

 ${\begin{matrix}8&&2\\&&\downarrow \\6&&4\\\hline &&8&(2\times 4=8)\end{matrix}}$

最后，按照步骤 5（交叉），沿任何对角线进行减法（无论哪种方式，答案都相同），并写下答案。

 ${\begin{matrix}&8&&2\\&&\swarrow &\\&6&&4\\\hline (6-2=4)&4&&8\end{matrix}}$

所以 8 x 6 等于 48，正如预期的那样，但从上面的顺序可以看出，为了计算出这个结果，你只需要知道如何减去小数字以及如何将 2 乘以 4。

将 7 乘以 8

 ${\begin{matrix}7&\longrightarrow &3\\\\8&\longrightarrow &2\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}7&&3\\&&\downarrow \\8&&2\\\hline &&6\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}7&&3\\&\swarrow &\\8&&2\\\hline 5&&6\end{matrix}}$

得到答案 56，正如预期的那样。
下一个例子涉及最后两个阶段之间的进位。

将 7 乘以 6

 ${\begin{matrix}7&\longrightarrow &3\\\\6&\longrightarrow &4\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}7&&3\\&&\downarrow \\6&_{1}&4\\\hline &&2\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}7&&3\\&\swarrow &\\6&_{1}&4\\\hline 3&&2\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}7&&3\\&&\\6&&4\\\hline 4&&2\end{matrix}}$

正如你所见，第二（纵向）阶段的乘法（3x4）结果为 12，2 写下来，1 进位。交叉阶段的减法（6-3）结果为 3，但你必须将前一步的进位 1 加到结果中，结果为 4。最终答案是 42。

这对于做一些你只需要从记忆中回忆的简单乘法来说可能看起来很费力，但重要的是要学习这种技巧，因为它会在后面得到扩展。如果你有兴趣提高心算能力，尝试在脑海中做这个过程，想象数字像上面那样排列出来。在继续下一个技巧之前，现在试一试；闭上眼睛，使用上面的过程将 6 乘以 6......
你应该想象了以下内容

将 6 乘以 6

 ${\begin{matrix}6&\longrightarrow &4\\\\6&\longrightarrow &4\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}6&&4\\&&\downarrow \\6&_{1}&4\\\hline &&6&\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}6&&4\\&\swarrow &\\6&_{1}&4\\\hline 2&&6\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}6&&4\\&&\\6&&4\\\hline 3&&6&\end{matrix}}$

将两个数字在 89 到 100 之间相乘

上面的技巧实际上适用于任何两个数字，但它只有在它比传统的长乘法更容易时才有用。要记住的关键是，使用这种技巧，你最终会将减去的数字相乘，而不是将原始数字相乘，也就是说，只有在这些减去的数字小于原始数字时它才比普通乘法更容易，因此我们只将上面的技巧用于大于 5 的数字（因为减去的数字将小于或等于 4）。

当该技巧扩展到两位数时，在“纵向”阶段，您需要将每个数字从 100 中减去，而不是从 10 中减去，因此该技巧只有在其中一个或两个数字的减法结果较小时才更容易，当一个或两个数字接近 100 时，情况显然如此。请看下面的示例

89 乘以 97

 ${\begin{matrix}89&\longrightarrow &11&(100-89=11)\\\\97&\longrightarrow &3&(100-97=3)\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}89&&11\\&&\downarrow \\97&&3\\\hline &&33&(3\times 11=33)\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}&89&&11\\&&\nwarrow &\\&97&&3\\\hline (89-3=86)&86&&33\end{matrix}}$

所以 89x97=8633。
现在，该技巧的强大功能变得清晰。在引言中，我问你是否想快速地在脑海中计算出 89x97 的结果，你现在应该明白这实际上相当容易。你首先将两个数字在脑海中一个叠一个地可视化，然后分别从 100 中减去它们，得到 11 和 3，将每个结果在脑海中放在原始数字的右边。接下来，将 11 和 3 相乘，得到 33。（注意，由于我们现在处理的是两位数，除非此乘法的结果为 100 或更大，否则我们不进位）。我们现在有了答案的最后两位数字 (33)，现在我们要做的就是沿任一斜线减去以获得前两位数字。我们可以选择任何一条斜线，因为它们总是给出相同的答案，但是 89-3=86 可能比 97-11=86 更容易。最终答案是这两个部分的拼接，得到 8633
如果你练习这个技巧，你会发现你可以在不写任何东西的情况下完成两位数的乘法。现在试试，在脑海中计算 95x93 的结果，尝试将上面的步骤可视化。
你应该得到以下结果

95 乘以 93

 ${\begin{matrix}95&\longrightarrow &5\\\\93&\longrightarrow &7\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}95&&5\\&&\downarrow \\93&&7\\\hline &&35\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}95&&5\\&\nwarrow &\\93&&7\\\hline 88&&35\end{matrix}}$

95x93=8835

记住，为什么这个技巧比普通的乘法更容易，是因为你只需要将减法结果相乘。这意味着你通常可以在只有一个数字接近 100 的情况下使用它，因为在这种情况下乘法仍然很容易。例如。

97 乘以 69

 ${\begin{matrix}97&\longrightarrow &3\\\\69&\longrightarrow &31\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}97&&3\\&&\downarrow \\69&&31\\\hline &&93\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}97&&3\\&\swarrow &\\69&&31\\\hline 66&&93\end{matrix}}$

97x69=6693

96 乘以 88

 ${\begin{matrix}96&\longrightarrow &4\\\\88&\longrightarrow &12\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}96&&4\\&&\downarrow \\88&&12\\\hline &&48\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}96&&4\\&\swarrow &\\88&&12\\\hline 84&&48\end{matrix}}$

96x88=8448

相同的技巧适用于略大于 100 的数字，只是现在你必须在“交叉”步骤中添加。例如。

105 乘以 107

 ${\begin{matrix}105&\longrightarrow &5\\\\107&\longrightarrow &7\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}105&&5\\&&\downarrow \\107&&7\\\hline &&35\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}105&&5\\&\swarrow &\\107&&7\\\hline 112&&35\end{matrix}}$

105x107=11235

有许多方法可以记住该技巧对大于 100 的数字的扩展。如果你熟悉符号乘法规则（即 -x-=+, -x+=-，等等），那么你根本不需要改变该技巧，因为你会明白 100-105 = -5 且 100-107=-7，然后 (-7)x(-5)=35，以及 107-(-5)=107+5=112。
如果你不习惯这样，你可以反转初始减法，当原始数字大于 100 时（或者只记住你需要原始数字和 100 之间的差，即 105-100 = 5 而不是 100-105 = -5），然后还要记住，如果你想要减去的数字来自大于 100 的原始数字，你需要将“交叉”减法改为加法。
试着在脑海中计算以下示例。

109 乘以 108

 ${\begin{matrix}109&\longrightarrow &9\\\\108&\longrightarrow &8\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}109&&9\\&&\downarrow \\108&&8\\\hline &&72\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}109&&9\\&\swarrow &\\108&&8\\\hline 117&&72\end{matrix}}$

109x108=11772

115 乘以 106

 ${\begin{matrix}115&\longrightarrow &15\\\\106&\longrightarrow &6\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}115&&15\\&&\downarrow \\106&&6\\\hline &&90\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}115&&15\\&\swarrow &\\106&&6\\\hline 121&&90\end{matrix}}$

115x106=12190

123 乘以 103

 ${\begin{matrix}123&\longrightarrow &23\\\\103&\longrightarrow &3\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}123&&23\\&&\downarrow \\103&&3\\\hline &&69\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}123&&23\\&\swarrow &\\103&&3\\\hline 126&&69\end{matrix}}$

123x103=12669

和之前一样，如果“纵向”乘法的第一个数字超过两位数，你需要进位。例如。

133 乘以 120

 ${\begin{matrix}133&\longrightarrow &33\\\\120&\longrightarrow &20\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}133&&33\\&&\downarrow \\120&_{6}&20\\\hline &&60\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}133&&33\\&\swarrow &\\120&_{6}&20\\\hline 153&&60\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}133&&33\\&&\\120&&20\\\hline 159&&60\end{matrix}}$

133x120=15960

组合技巧

吠陀体系的一个关键思想是，你可以将技巧结合起来解决问题。你应该以灵活的方式看待问题，并使用最适合特定问题（以及你大脑工作方式）的技巧组合。现在讨论这个问题可能有点早，因为我们到目前为止只介绍了一个主要的技巧，但即使在这个阶段，也可以将“纵向和交叉”乘法技巧与已经描述的特殊情况乘法技巧相结合，以处理两个数字都远离 100、1000 等的情况。

例如，使用“乘以 10 再加一半”的规则来乘以 15，可以让你轻松处理远离 10、100、1000 等的数字，如果其中一个数字与你的“基数”相差 15，例如。

66 乘以 85

 ${\begin{matrix}66&\longrightarrow &34\\\\85&\longrightarrow &15\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}66&&34\\&&\downarrow \\85&_{5}&15\\\hline &&10\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}66&&34\\&\nwarrow &\\85&_{5}&15\\\hline 51&&10\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}66&&34\\&&\\85&&15\\\hline 56&&10\end{matrix}}$

66x85=5610
你可以看到，“纵向”乘法的结果为 510 (34x15 = 340 “再加一半” = 340 + 170 = 510)。510 有 3 位数字，因此我们写下最后两位数字 (10)，并将前面的 5 进位。然后我们在最容易的斜线上进行“交叉”减法 (66-15 = 51)，并加上进位 (5)，然后写下最终答案 (56)。

扩展乘法技巧

上面描述的相同“纵向”技巧适用于任何数字，但它在接近 10 的幂的数字时特别有用，即 10、100、1000、10000、100000 等。只要初始减法的结果是“更容易”相乘的数字，它就是一个有用的技巧。例如。

1232 乘以 1003

 ${\begin{matrix}1232&\longrightarrow &232\\\\1003&\longrightarrow &3\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}1232&&232\\&&\downarrow \\1003&&3\\\hline &&696\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}1232&&232\\&\swarrow &\\1003&&3\\\hline 1235&&696\end{matrix}}$

1232x1003=1235696
由于我们处理的是接近 1000 的数字，因此我们在计算初始差值时，从 1000 而不是 100 中减去，并且只有在“纵向”乘法结果大于或等于 1000 时才进位。

9960 乘以 9850

 ${\begin{matrix}9960&\longrightarrow &40\\\\9850&\longrightarrow &150\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}9960&&40\\&&\downarrow \\9850&&150\\\hline &&6000\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}9960&&40\\&\swarrow &\\9850&&150\\\hline 9810&&6000\end{matrix}}$

9960x9850=98106000
在这种情况下，数字略小于 10000，因此我们最初从 10000 中减去，我们在“交叉”阶段也减去，并且只有在“纵向”乘法结果大于或等于 10000 时才进位。（在这种特定情况下，可能更简单的方法是使用“纵向和交叉”技巧计算 996x985，然后在答案的末尾添加两个零。）

89684 乘以 99989

 ${\begin{matrix}89684&\longrightarrow &10316\\\\99989&\longrightarrow &11\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}89684&&10316\\&&\downarrow \\99989&_{1}&11\\\hline &&13476\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}89684&&10316\\&\nwarrow &\\99989&_{1}&11\\\hline 89673&&13476\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}89684&&10316\\&&\\99989&&11\\\hline 89674&&13476\end{matrix}}$

89684x99989=8967413476
注意上面示例中技巧的组合，即 89684 和 100000 之间的差值很容易使用从 10 的幂减去的特殊情况技巧得出（即使用口诀“所有数字从 9 中减去，最后一个数字从 10 中减去”）。还使用了乘以 11 的特殊情况技巧。

98688 乘以 99997

 ${\begin{matrix}98688&\longrightarrow &1312\\\\99997&\longrightarrow &3\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}98688&&1312\\&&\downarrow \\99997&&3\\\hline &&3936\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}98688&&1312\\&\swarrow &\\99997&&3\\\hline 98685&&03936\end{matrix}}$

98688x99997=9868503936
在这个示例中，数字略小于 100000，因此初始减法是从 100000 中减去。这里要注意的是，“纵向”乘法的结果必须通过在左侧添加一个额外的零来填充为 5 位数字（03936 而不是 3936）。这通常也是正确的，即“纵向”乘法的结果的位数必须始终与“基数”中的零的位数相同（即 100、1000、100000 等）。

值得记住的是，即使在如此早期的阶段，我们已经取得了多大的进步。即使你写下计算过程，使用吠陀方法进行上面的乘法仍然比使用传统的长乘法效率更高。例如。

使用长乘法计算 98688 乘以 99997

           98688
           99997 ×
      ----------
          690816 (= 98688 ×     7)
         8881920 (= 98688 ×    90)
        88819200 (= 98688 ×   900)
       888192000 (= 98688 ×  9000)
      8881920000 (= 98688 × 90000)
      ----------
      9868503936

这种乘法技巧可以进一步扩展，以涵盖一个数字略大于 10 的幂，另一个数字略小于相同 10 的幂的情况。在这种情况下，使用 + 或 - 符号分别记录原始数字是大于还是小于“基数”10 的幂是有利的。例如。

111 乘以 88

 ${\begin{matrix}111&\longrightarrow &+11\\\\88&\longrightarrow &-12\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}111&&+11\\&&\downarrow \\88&&-12\\\hline &&-132\end{matrix}}$

注意，“纵向”乘法的结果现在为负数，因为你相乘的两个数字的符号不同。此外，由于我们的“基数”是 100，我们只能在答案部分写下 2 位数字，因此“-132”的前导“-1”必须进位；因此

 ${\begin{matrix}111&&+11\\&&\downarrow \\88&&-12\\\hline &&-132\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}111&&+11\\&&\\88&_{-1}&-12\\\hline &&-32\end{matrix}}$

现在我们在答案部分有 -32。我们必须通过用它的“补码”替换它来转换这个负数，即与它相加得到 100 的那个数字。在这种情况下，32+68=100，因此我们将 -32 替换为 68。每当我们进行这种替换时，我们还必须从进位中减去 1（即在这种情况下，进位从 -1 变为 -2）。完成此操作后，我们继续进行之前的步骤；因此

 ${\begin{matrix}111&&+11\\&&\\88&_{-1}&-12\\\hline &&-32\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}111&&+11\\&&\\88&_{-2}&-12\\\hline &&68\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}111&&+11\\&\swarrow &\\88&_{-2}&-12\\\hline 99&&68\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}111&&+11\\&&\\88&&-12\\\hline 97&&68\end{matrix}}$

111x88=9768
注意，在这个示例中，我们在“交叉”步骤中将 11 加到了 88 上，因为 11 被写成了 +11。要注意这个符号。如果我们使用另一条斜线，则计算结果为 111-12（结果为相同的答案 99），因为 12 被写成了 -12。现在所有这些可能看起来有点复杂，但是你不会明确地写下上面每个步骤，我只是为了清楚地说明正在发生的事情才这样做。实际上，“补码和进位”步骤会直接写下，例如。

97 乘以 104

 ${\begin{matrix}97&\longrightarrow &-3\\\\104&\longrightarrow &+4\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}97&&-3\\&&\downarrow \\104&_{-1}&+4\\\hline &&88\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}97&&-3\\&\nwarrow &\\104&_{-1}&+4\\\hline 100&&88\end{matrix}}$

97x104=10088
在上面的例子中，在找到初始差值（-3 和 +4）之后，将它们相乘得到 -12，但然后你记得负数不能写下，因此它被补充为 88 (12+88=100)，并且进位减去 1（由于在这个例子中没有进位，进位变为 -1）。最后执行“交叉”步骤（在本例中为 97+4=101），并将进位减去（101-1=100），得到 100。最终答案是两个部分的拼接，如往常一样，即 10088。
一些进一步的示例应该可以使这个过程更清晰。试着在阅读工作步骤之前先在脑海中计算它们。

103 乘以 87

 ${\begin{matrix}103&\longrightarrow &+3\\\\87&\longrightarrow &-13\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}103&&+3\\&&\downarrow \\87&_{-1}&-13\\\hline &&61\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}103&&+3\\&\swarrow &\\87&_{-1}&-13\\\hline 89&&61\end{matrix}}$

103x87=8961

998 乘以 1004

 ${\begin{matrix}998&\longrightarrow &-2\\\\1004&\longrightarrow &+4\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}998&&-2\\&&\downarrow \\1004&_{-1}&+4\\\hline &&992\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}998&&-2\\&\nwarrow &\\1004&_{-1}&+4\\\hline 1001&&992\end{matrix}}$

998x1004=1001992
在上面的例子中，基数现在是 1000，垂直乘法的结果是 -8，得到补码为 **992**。

将 1234 乘以 989

 ${\begin{matrix}1234&\longrightarrow &+234\\\\989&\longrightarrow &-11\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}1234&&+234\\&&\downarrow \\989&_{-3}&-11\\\hline &&426\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}1234&&+234\\&\nwarrow &\\989&_{-3}&-11\\\hline 1220&&426\end{matrix}}$

1234x989=1220426
上面的例子值得解释，因为它展示了多种技术的应用。首先，写下初始余数，即 **+234** 和 **-11**。然后，我们使用特殊情况技术将 234 乘以 -11，得到 **-2574**。这会产生 **-2** 的进位和 **-574** 的余数。将余数与 1000 相减以求其补码，使用从 10 的幂中减去的特殊情况方法完成，（即使用口诀 **所有从 9 减，最后一个从 10 减**），得到 **426**，进位减少 1，从 **-2** 变为 **-3**。最后，执行考虑进位的 **交叉** 减法，（1234-11-3）得到 **1220**，最终答案为 **1220426**。

乘以两个“密切相关”的数字

现在我们准备好将上面描述的乘法技术扩展到最一般的情况，即任何两个“密切相关”数字的乘法。“密切相关”的精确定义是

“与“10 的比例幂”距离很小的数字，使得原始数字与该比例 10 的幂之间的差值很容易相乘”。

这听起来可能很复杂，但实际上很简单。首先，“10 的比例幂”只是一个简单的 10 的幂的倍数或除法，10 的幂为 10、100、1000、10000 等。因此，10 的比例幂为 10、20、25、30、40、... 80、90、100、200、250、300、... 800、900 等。（注意，25、250 等在这个定义中是 10 的比例幂，因为它们是 10 的幂的简单除法，例如 100/4=25）。
因此，如果要乘以的两个数字都“接近”这些数字之一（即，余数足够小，以便您可以轻松地相乘它们），那么可以使用扩展技术。这种扩展技术只是将子口诀 Anurupyena 或 **按比例** 添加到上面已经描述的技术中。扩展 **垂直和交叉** 技术的完整描述是

将要乘以的两个数字分别放在一行，在下方留下一条答案线。
选择一个 **“工作基数”**，它接近这两个数字，它必须是 **“10 的比例幂”**。**“理论基数”** 是实际的 10 的幂，在您将其乘以或除以以获得您的 **“工作基数”** 之前。例如，如果 **“工作基数”** 是 25，那么 **“理论基数”** 将是 100（在这种情况下，**“理论基数”** 100 将被 4 除以获得 **“工作基数”** 25）。记住您所做的 **“比例性”**，（例如，如果您除以 4 或乘以 3 等），您将使用这种 **“比例性”** 来纠正答案的左侧。
从每个原始数字中减去 **“工作基数”** 并将结果放在每个数字的右侧，（记住要包括结果的符号，例如 21-25=-4，28-25=+3）。我们将这些结果称为 **“余数”**。
**垂直** 乘以上面得到的 **“余数”**，注意结果的符号，（即，如果 **“余数”** 的符号 **不同**，那么乘法结果的符号将是 **负的**，如果 **“余数”** 的符号 **相同**，那么结果将是 **正的**。我们将此称为 **“垂直结果”**。
按照特定对角线上出现的符号进行 **交叉** 加或减，（无论选择哪个对角线，您都会得到相同的答案，因此选择最简单的计算来创建 **“交叉结果”**）。
通过重复用于创建 **“工作基数”** 的 **“比例性”** 来 “纠正” **“交叉结果”**，（例如，如果您除以 4 来获得您的 **“工作基数”**，那么也用 4 除以 **“交叉结果”**）。请注意，如果比例性是除法，并且这导致了结果包含小数部分，那么必须通过将相同的小数比例的理论基数加到先前计算的 **“垂直结果”** 中，将该小数部分转移到答案的右侧。
如果现在 **“垂直结果”** 中的位数过多（即超过 **“理论基数”** 中的零的个数），那么您必须将前导位数进位到下一阶段，记住要保留符号。我们将去除任何进位后的 **垂直** 乘法的结果称为 **“余数”**。
如果 **“余数”** 为正，则可以将其直接放在答案线上，如果为负，则必须用其补码替换，然后将其放在答案线上，（记住一个数字的补码是该数字与 **“理论基数”** 相减的结果）。如果您必须用补码替换 **“余数”** 以使其变为正数，那么您还必须将进位减少 1，（如果没有进位，那么进位变为 -1）
将任何进位（根据其符号）加或减到上面纠正的交叉结果，将此结果放在答案线上的 **“余数”** 部分的左侧。
就是这样，答案线上的数字是原始乘法的结果。

现在，这一切听起来非常复杂，但实际上写下（和阅读）这些步骤比实际执行它们要困难得多！事实上，您已经在前面的许多例子中遵循了所有步骤，唯一的额外步骤是 **“按比例”** 计算。一些例子将会澄清。

将 489 乘以 512

 ${\begin{aligned}W.B.=500=100\times 5&\\{\begin{matrix}489&\longrightarrow &-11\\\\512&\longrightarrow &+12\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad &{\begin{matrix}489&&-11\\&&\downarrow \\512&&+12\\\hline &&-132\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}489&&-11\\&\swarrow &\\512&&+12\\\hline 501&&-132\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}489&&-11\\&&\\512&&+12\\\hline 5\times 501&&-132\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad \end{aligned}}$

正如您在上面看到的，首先选择 **“工作基数”** 为 **500**，因为它接近这两个数字，在这种情况下，我们使用 **“理论基数”** 为 **100** 和 **“比例性”** 为 **x5**，（我们也可以使用 1000 和 ÷2，这将在下一个例子中看到）。然后找到 **“余数”**，即 **-11** 和 **+12**，然后将它们相乘得到 **-132**（这里使用乘以 11 的规则，得到 132，但由于余数符号不同，因此答案为 -132）。现在我们 **交叉** 减去 512-11，得到 **501**（如果需要，我们可以选择另一个对角线，即 489+12=501，两者都给出相同的答案）。然后，我们通过重复最初的 **按比例** 步骤来 “纠正” 交叉减法，即 501x5=**2505**。

 ${\begin{matrix}489&&-11\\&&\\512&&+12\\\hline 2505&&-132\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}489&&-11\\&&\\512&_{-1}&+12\\\hline 2505&&-32\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}489&&-11\\&&\\512&_{-2}&+12\\\hline 2505&&68\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}489&&-11\\&&\\512&&+12\\\hline 2503&&68\end{matrix}}$

我们最多只能在 **“余数”** 结果中保留两位数，因为我们的 **“理论基数”** 是 100，所以我们必须进位 -1，在答案线上保留 **-32**，但是我们也不能在答案线上放置负数，因此我们对 **-32** 求补码，得到 **68**（然后将进位减少 1 至 **-2**）。最后，我们减去进位，得到 2503。因此，最终答案是两部分的连接，即 **250368**
这个计算是尽可能复杂的，并且每个步骤都被有意地分解成其组成部分，以便您可以更容易地看到和理解每个步骤，但请记住，您不会像这样写下每个步骤，通常您要么在脑海中完成所有步骤，要么只直接写下部分答案。
您可以在下面看到，选择另一种 **比例性**（即 1000÷2）会得到相同的答案

将 489 乘以 512

 ${\begin{aligned}W.B.=500=1000\div 2&\\{\begin{matrix}489&\longrightarrow &-11\\\\512&\longrightarrow &+12\\\hline \quad \end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad &{\begin{matrix}489&&-11\\&&\downarrow \\512&&+12\\\hline &&-132\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}489&&-11\\&\swarrow &\\512&&+12\\\hline 501\div 2&&-132\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad \end{aligned}}$

您可以在上面看到，我们正在执行相同的乘法（**489x512**），我们仍然使用 **“工作基数”** 为 500，但这次 **“理论基数”** 为 1000，**“比例性”** 为 ÷2。计算过程与之前相同，对角线减法得到 **501**，但这次 **“比例性”** 为 ÷2，因此我们必须将 501 除以 2，得到 250½。

 ${\begin{matrix}489&&-11\\&&\\512&&+12\\\hline 250{\frac {1}{2}}&&-132\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}489&&-11\\&&\\512&&+12\\\hline 250&&368\end{matrix}}$

我们不能在答案中写 ½，因此我们将它作为 **“理论基数”** 的一半（即 1000÷2=500）转移回余数列，并加到已经存在的 -132 中，得到 **368**。
使用吠陀数学技术解决数值问题的方式多种多样，这是该体系的一个主要优势。随着练习，您将对使用数字更有信心，并对算术有更深入的理解。但是，在上述技术中必须记住一个要点，即

您 **不能** 在 “纠正” 过程开始时应用的任何初始 **比例性** 对 **交叉** 计算进行任何 “纠正” 之前处理任何进位。

在 “纠正” 答案的左侧以反映 **比例性** 之前尝试处理进位是一个常见的错误。如果您这样做，答案将是错误的。

吠陀数学
先前：加法和减法	乘法	接下来：除法